spring · stiffness · damping · mass

弹簧：没有时长的动画

缓动的契约是「预先规定 $N$ 毫秒走完一条固定曲线」。弹簧（spring）换了一套契约：给定刚度 stiffness、阻尼 damping、质量 mass 与初速度，让系统自己演化到静止。时长不再是输入，而是这组参数的结果——引擎反推出一个 settleTime 告诉调用方「这次大概要跑多久」。

数学上它是阻尼谐振子方程 $m x'' + c x' + k x = 0$ 的解析解。引擎不做数值积分，而是按阻尼比分情况代入闭式解，因此 value(t) 对任意 $t$ 都是 $O(1)$ 求值，可以随意 seek，不必从头逐帧推进。

1 · 三个参数与三种形态

行为完全由一个无量纲数决定——阻尼比（damping ratio）

\zeta = \frac{c}{2\sqrt{k m}}

$\zeta < 1$ 是欠阻尼：振荡着收敛，会过冲超过目标，弹性感即由此而来。 $\zeta = 1$ 是临界阻尼：不振荡且最快归位。 $\zeta > 1$ 是过阻尼：两个实指数叠加，缓慢爬向目标，看上去有点迟钝。

图 1-1 · 弹簧位移曲线与它驱动的运动。可调三个参数与初速度，读数区同步给出 ζ、形态、settleTime 与固有频率 ω₀；点「弹一下」对比同时长的 easeOut。

注 · 三个参数只有两个自由度。曲线完全由 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ 与 $\zeta$ 确定，而把 $k$ 、 $c$ 、 $m$ 同倍放大等于给方程两边同乘一个常数，两者都不变。实跑对照过：(120, 12, 1) 与 (240, 24, 2) 在任意时刻的位移逐位相同，settleTime 也同为 996 ms。调 mass 而不动另外两个才会改变行为。

settleTime 的求法与 value 不同：位移有闭式解，稳定时刻却没有——引擎以 4 ms 步长从 0 扫到 10 s，取第一个「位移与速度都进入静止阈值」的时刻。所以它的分辨率是 4 ms，且有上限。滑块量程内就能撞到这个上限：stiffness = 20、damping = 60、mass = 4（ $\zeta = 3.35$ ，重度过阻尼）时 settleTime 报 10000 ms，但那一刻位移只走到 0.966，真正静止要到 20 s 之后。这类参数下读数是循环的天花板，不是物理结果。

2 · 承接初速度

固定曲线的缓动从静止出发，起点速度由曲线形状写死。弹簧不同：初速度是求解时的一个初始条件，可以是任意值，包括与目标方向相反。这就是手势松手后惯性的来源——把指针的瞬时速度直接交给弹簧，运动天然连续，看不出接管的痕迹。

警示 · springEasing 把弹簧化成一对 { easing, duration } 塞进通用动画管线，这一步会把初速度归零。一条可复用的 $0 \to 1$ 曲线携带不了一次性的发射速度——它被采样成纯函数的那一刻，初始条件就丢了。需要真正承接中途速度，得直接用 createSpring 并自行驱动，见中断与重定向。

import { createSpring, springEasing } from '@vega/anim';

// 物理求解: 给定参数, 算任意时刻的值 / 速度 / 是否静止
const s = createSpring({ stiffness: 120, damping: 12, mass: 1,
                         from: 0, to: 1, velocity: 0 });
s.value(120);      // 120ms 时的位移
s.settleTime;      // 自然稳定耗时 (毫秒) —— 不是给定的

// 化成 duration + easing, 即可塞进通用动画管线 (初速度在此丢失)
const { easing, duration } = springEasing({ stiffness: 120, damping: 12 });

同样没有内建时长、但连目标都没有的另一类物理，见惯性衰减；把标量弹簧推广到二维与链式跟随见向量弹簧；预设曲线那一套对照见缓动。