apportionment

把整数名额按比例分下去

一个看似无害的问题：把一组带小数的比例，四舍五入成整数，结果加起来不等于该有的总数。饼图的三块写 20% / 30% / 49%，合计只有 99%；议会按得票分席位，floor 之后总有几席没分出去。根因是取整不守恒——本页从「饼图百分比凑不齐 100」这个具体 bug 出发，引出 apportionment（配额分配）这一整类问题：最大余额法如何补齐总数、它隐藏的 Alabama 悖论，以及除数法如何从根上绕开悖论。每个 demo 都可拖动参数，实时看分配结果怎么变。

1 · 饼图百分比：四舍五入为什么凑不齐 100%

三块占比 20.3% / 30.4% / 49.3%，精确值合计正好是 100%。可一旦各自四舍五入成整数——20 / 30 / 49——合计只剩 99%。问题不在某一次 round，而在独立取整本身不守恒：各项的小数被各自截断，丢掉的零头并不会自动补回到总数上。最大余额法把取整拆成两步：先取 floor，再把差额名额按小数余数从大到小补回，从而让整数合计精确等于 100。

拖三个滑块改变三块的原始权重，饼图与下方表格实时更新。先看 naïve round 那行的合计——它常常是 99 或 101；再看最大余额法怎样把缺/超的名额，精确地补到余数最大（或扣自余数最小）的那几块上。

1.1 · 为什么是「余数最大」优先

floor 之后每一块都欠了自己的小数余数 $frac = exact - floor$ 。总共欠出的名额 $k = 100 - Σfloor$ 必须补回 k 个整数，补给谁最公平？——补给欠得最多（余数最大）的那 k 块，使每块最终值与精确值的偏差最小。这等价于最小化 $Σ|seat_i - exact_i|$ ，所以最大余额法又称 Hamilton 法，是「在守恒约束下最贴近精确比例」的取整。

1.2 · 它真实跑在哪里

图表库的百分比标签（ECharts / Highcharts 都处理过这个 bug）、预算 / 成本按比例摊到整数单位、问卷结果的整数百分比展示、以及一切「把连续比例落成整数又要求合计守恒」的场景。把总名额从 100 换成议会席位数，它就是选举里的 Hare quota + 最大余额——但那里它会暴露出一个麻烦：Alabama 悖论。

2 · Alabama 悖论：总名额变多，有人却分得更少

最大余额法在「凑齐总数」上无懈可击，却藏着一个反直觉的毛病：把各方的份额原封不动，只把要分配的总名额 H 调大一个，某一方的名额竟会不增反降。这不是 bug，而是「按余数补齐」这一步的数学必然——1880 年美国众议院按各州人口重分席位时，Alabama 州就因总席位从 299 增到 300 反而少了一席，故得名。

下面固定一组人口，拖动总席位 H。折线是各方席位随 H 的变化；当某条线在 H 增大时向下拐（出现红圈），就是一次 Alabama 悖论。默认人口 6 : 6 : 2，在 $H=10\to 11$ 处第三方从 2 席跌到 1 席。

2.1 · 悖论从哪来

席位增加时，每一方的精确配额 $exact = pop/Σpop \cdot H$ 都按同一比例放大，小数余数却各涨各的。总名额 +1 时，大方的余数可能刚好越过进位线、把那一席「抢」过去，小方原本靠余数勉强拿到的 +1 反而被挤掉。根子在于：最大余额法用「余数排名」分配缺口，而排名是非单调的——全局加一个名额，不保证每个人都不变差。

2.2 · 怎么绕开

除数法 (D'Hondt / Sainte-Laguë) 不算余数，而是一席一席地分给「平均数最高」的一方。席位增加只是多分一席，已分出的从不收回，因此单调、无 Alabama 悖论——代价是放弃了「配额约束」（某方席位可能偏离其精确配额超过 1）。鱼与熊掌不可兼得，这正是 Balinski–Young 定理。

3 · 除数法：逐席分给「平均数最高」的一方

Alabama 悖论的病根，是最大余额法靠「余数排名」一次性补齐缺口。除数法换一条思路：一席一席地分，每一席都交给当前平均数最高的一方，平均数 = $票数 \div 除数$ ，而除数随该方已得席数递增。D'Hondt (Jefferson) 用除数序列 ${1, 2, 3, \dots}$ ,Sainte-Laguë (Webster) 用 ${1, 3, 5, \dots}$ ——前者让大党更容易连拿、偏向大党，后者对中小党更友好。

下表每个格子是该方除以对应除数后的商。把所有商从大到小取前 H=10 名，就是 10 个席位的归属。点下一席 ▸ 单步看每一席被谁抢走（橙框 = 这一步选中的最大商），切换两种除数序列，对比同一组票数下大党拿到的席位差异。

3.1 · D'Hondt 为什么偏向大党

D'Hondt 的除数 ${1,2,3\dots}$ 增长慢，大党即使连拿几席，平均数下降也不快，容易继续压过小党；Sainte-Laguë 的除数 ${1,3,5\dots}$ 一上来就跳到 3，大党拿第二席后平均数近乎腰斩，机会更快让给小党。本例 47 : 16 : 15 : 12 共 10 席：D'Hondt 给最大党 6 席，Sainte-Laguë 只给 5 席——后者与最大余额法结果一致。

3.2 · 为什么没有 Alabama 悖论

除数法把分配看成一串从大到小取商的过程：总席位从 H 增到 H+1，只是再取下一个商、多发一席，前 H 个归属原封不动。因此席位关于 H 单调不减，根除了 Alabama 悖论。代价是它不保证配额约束——某方席位可能比其精确配额多/少超过 1 席。守恒、单调、配额三者不可兼得（Balinski–Young 定理）。

一条主线：比例是连续的，名额是整数，两者之间总要取整，而取整不保证守恒、也不保证单调。最大余额法从「凑齐总数」入手却带来悖论；除数法放弃「精确配额」、改保「单调与无悖论」。没有一种分配能同时满足所有公平性公理——这是 Balinski–Young 定理，本页三节就是它的三个侧面。