Pascal 三角与二项式定理

把组合数 C(n, k) 按 n 逐行、k 逐列排成一个三角形（行号 $n \ge 0$，每行列号 k 取遍 ${0 \le k \le n}$），就是 Pascal 三角。它有一条极简的递推：两腰即 k = 0 与 k = n 处恒为 1，其余每个内部数（0 < k < n）都等于它上方紧邻两数之和，即 $C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)$。而每一行的数，恰是 二项式定理 $(a+b)^n$ 展开后各项的系数。点击三角形里任一格，看它由上一行哪两格相加，又对应展开式的哪一项。

1 · 每个数 = 上方两数之和

拖动滑块决定显示到第几行（行号 n 从 0 起，每行列号 k 取遍 ${0 \le k \le n}$）。点击任一格，它会高亮为选中（蓝），上一行的两个「父」格高亮为绿——它们相加正好等于选中格。递推 $C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)$ 只对内部格 0 < k < n 成立；两腰即 k = 0 与 k = n 处，两个父格 $C(n-1, k-1)$、$C(n-1, k)$ 中恰有一个的列号越出上一行范围（约定越界的 C 记为 0），于是只剩一个父格，而剩下的那个父格正是上一行的腰（$C(n-1, 0)$ 或 $C(n-1, n-1)$），其值为 1，故逐行传递下来 C(n, 0) = C(n, n) = 1 恒成立。

2 · 这一行，就是 (a+b)ⁿ 的展开系数

把 $(a+b)^n$ 乘开：每个因子 (a+b) 都要么出 a、要么出 b，n 个因子里恰好选 k 个出 b（其余出 a）就得到 $a^{n-k}\cdot b^k$——而「从 n 个里选 k 个」的方案数正是 C(n, k)，这就是该项的系数。所以第 n 行的每个数，都是展开式里对应项的系数。选中格所在的那一项在下方高亮。

3 · 这条递推，正是归纳证明里合并同类项的那一步

上一节「从 n 个因子里选 k 个出 b」是二项式定理的组合证明（combinatorial proof）——直接读出系数就是 C(n, k)。若换一条路，对指数 n 做数学归纳法（induction），会发现第一节那条递推恰好是归纳步骤的核心。

设归纳假设 $(a+b)^n = Σ C(n, k)\cdot a^{n-k}\cdot b^k$（求和指标 k 从 0 到 n）成立，两边乘 (a+b)，逐行整理如下——右侧注解标出每一步做了什么：

关键是合并那一步：同幂项 $a^{n+1-k}\cdot b^k$ 从两处汇合——左边和式里原第 k 项乘 a（系数 C(n, k)），右边和式换元 $k \to k-1$ 后原第 $k-1$ 项乘 b（系数 $C(n, k-1)$）——相加得该项系数 $C(n, k-1) + C(n, k)$。要它恰好等于目标系数 C(n+1, k)，就需要 $C(n, k-1) + C(n, k) = C(n+1, k)$，这正是第一节的递推（把其中的 n 换成 n+1）。

沿用第一节「越界的 C 记为 0」的约定，上面求和范围可统一取 ${0 \le k \le n+1}$：两个端点 k = 0（$a^{n+1}$）与 k = n+1（$b^{n+1}$）处，两个来源里恰有一个的组合数越界记 0，系数自动落到 1 = C(n+1, 0) = C(n+1, n+1)，不必单列。于是 Pascal 三角里**「每个数 = 上方两数之和」这个动作**，与二项式定理归纳证明里**「合并同类项、两个父项系数相加」那一步**，是同一件事。三角形逐行往下生长，就是归纳法从 n 推到 n+1 的可视化。

4 · 相关链接

• Pascal's triangle — Wikipedia · en.wikipedia.org——Pascal 三角的递推、对称性与诸多隐藏规律。
• Binomial theorem — Wikipedia · en.wikipedia.org——$(a+b)^n$ 的展开、二项式系数与推广。