排列 P(n, k)：有序地取 k 个

从 n 个互不相同的元素里取出 k 个排成一列，次序算数——同样三个字母，ABC 与 CBA 是两种不同的排列。这样的方案数记作 排列数 P(n, k)（也写作 $A^n_k$ 或 nPk）。它是乘法原理最直接的应用：逐格填，每填一格，可选的元素就少一个。

1 · 填空位：每格的选法数逐格收缩

把「取 k 个排成一列」想成依次填 k 个空位：第一格从全部 n 个里挑，有 n 种；挑走一个后，第二格只剩 $n-1$ 种；……到第 k 格剩 $n-k+1$ 种。按乘法原理，总数是这 k 个数相乘，即 $P(n, k) = n! / (n-k)!$。拖动 n 与 k，看每格标注的可选数如何变化。

2 · 把它们逐个列出来

取前 n 个大写字母 $A, B, C, \dots$ 作元素，下面枚举出有序取 k 个的全部 P(n, k) 个排列。留意 AB 与 BA 各占一席——这正是「次序算数」。当 k = n 时，取的是全体元素的一个排列，方案数就是 n!（全排列）。

3 · 相关链接

• Permutation — Wikipedia · en.wikipedia.org——排列的定义、P(n, k) 的推导与记号。
• Factorial — Wikipedia · en.wikipedia.org——阶乘 n!，以及 P(n, n) = n! 的由来。