五种方法 · 纯粹性检验

轨迹方程的求法

前六页的每一族曲线都从「满足某个距离条件的点的集合」出发，而把条件翻成方程那一步，各页是就地做的。本页把这一步单独拎出来：给定一个几何条件，怎样写出它决定的那条曲线的方程，以及写出来之后还欠什么。

1 · 纯粹性与完备性

定义 1.1（轨迹方程） 设 $C$ 是平面上的一个点集， $F(x, y) = 0$ 是一个方程。称该方程为 $C$ 的轨迹方程，当且仅当两条同时成立： $C$ 中每一点的坐标都满足方程（纯粹性），且满足方程的每一组坐标都给出 $C$ 中的点（完备性）。

两条要求是两个方向的包含关系。纯粹性说轨迹点集含于解集，完备性说解集含于轨迹点集，两者合起来才是相等。课本里的求法通常只保证前一条——推导的每一步都是「由条件推出等式」，得到的是必要条件；解集里会不会混进不满足原条件的点，推导本身不回答。

所以求轨迹的产物不是一个方程，而是一个方程加一份剔除清单。core/locus.ts 的 LocusScene 据此把 shape（方程的解集）与 holes（须剔除的点）分作两个字段，单测也分两头验：采样点代进方程是否为零，以及解集上除 holes 外的点是否都取得到。

2 · 方法的选择与判据

五种方法的产物都是一个方程，入手处却各不相同：动点的位置由什么决定，就从那里下手。

方法	判据
直接法	几何条件能直接翻译成动点坐标之间的等式
定义法	条件化简后正好是某族圆锥曲线的定义式
相关点法	动点由另一个在已知曲线上的点带动
参数法	两个坐标各自好写成同一个参数的函数，而它们之间的直接关系不好写
交轨法	动点是两族曲线的交点，两族共用同一个参数

2.1 · 直接法

设 $A(-2, 0)$ 、 $B(2, 0)$ ，动点 $P(x, y)$ 使 $PA$ 与 $PB$ 的斜率之积等于 $m$ 。把两条斜率照定义写出来相乘：

\frac{y}{x + 2} \cdot \frac{y}{x - 2} = m, \qquad \text{即} \quad y^2 = m(x^2 - 4)

$m \ne 0$ 时两边除以 $4m$ ，整理得 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{4m} = 1$ 。 $m < 0$ 给出椭圆， $m = -1$ 给出圆 $x^2 + y^2 = 4$ ， $m > 0$ 给出双曲线， $m = 0$ 则塌成 $x$ 轴。写方程只用了一步代入，代价是两个点： $(\pm 2, 0)$ 满足最终方程，却使 $k_{PA}$ 或 $k_{PB}$ 没有定义，必须剔除。

2.2 · 定义法

$\odot C_1$ 的圆心是 $(-3, 0)$ 、半径 $1$ ， $\odot C_2$ 的圆心是 $(3, 0)$ 、半径 $r_2$ 。动圆 $P$ 与前者外切、与后者内切，其半径记作 $R$ ，则 $|PC_1| = R + 1$ 、 $|PC_2| = r_2 - R$ ，相加得

|PC_1| + |PC_2| = 1 + r_2

右端与 $R$ 无关。这已是椭圆的定义式（见椭圆的定义与标准方程 §1）， $r_2 > 5$ 时该定值大于 $|C_1C_2| = 6$ ，读出 $a = \frac{1 + r_2}{2}$ 、 $c = 3$ ，方程即刻写出，一次坐标都不必代。定义法省掉的是化简，省不掉的是存在性，这一点留到 §4。

2.3 · 相关点法

主动点 $Q$ 在圆 $x^2 + y^2 = 4$ 上， $M(6, 0)$ 是定点，被动点 $P$ 满足 $\vec{MP} = \mu \vec{MQ}$ 。在已知曲线上的是 $Q$ ， $P$ 只被它带动，所以要先把 $Q$ 的坐标反解成 $P$ 的坐标： $Q = M + \frac{1}{\mu}(P - M)$ 。代进 $Q$ 满足的方程，整理得

\left(x - 6(1 - \mu)\right)^2 + y^2 = (2\mu)^2

相关点法的关键步骤只有这一次反解：代进去的必须是主动点的坐标，而主动点的坐标要用被动点的坐标表出。 $\mu = 0$ 时反解失效， $P$ 恒等于 $M$ ，轨迹塌成一个点。

2.4 · 参数法

以 $t$ 为参数，取

x = \frac{2(1 - t^2)}{1 + t^2}, \qquad y = \frac{2bt}{1 + t^2}

消参靠一个恒等式 $(1 - t^2)^2 + 4t^2 = (1 + t^2)^2$ ：

\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = \frac{(1 - t^2)^2 + 4t^2}{(1 + t^2)^2} = 1

几何上 $t$ 与过 $(-2, 0)$ 的直线的斜率成比例，每条这样的直线与椭圆再交于一点，那一点就是 $P$ 。 $t$ 取遍全体实数，唯独 $(-2, 0)$ 取不到：它对应竖直的那条直线，而竖直线与椭圆的第二个交点仍是它自己。消参得到的方程比轨迹多这一个点。

2.5 · 交轨法

两族直线共用参数 $m$ ：

l_1: \; mx - y + 1 = 0, \qquad l_2: \; x + my - m - d = 0

$l_1$ 恒过 $(0, 1)$ ， $l_2$ 恒过 $(d, 1)$ ，同一个 $m$ 下两者的斜率是 $m$ 与 $-\frac{1}{m}$ ，互相垂直。交点 $P$ 看这两个定点的张角是直角，轨迹是以它们为直径的圆。消参也得同一结果：解出 $x = \frac{d}{1 + m^2}$ 、 $y = 1 + \frac{md}{1 + m^2}$ ，代入验证即

\left(x - \frac{d}{2}\right)^2 + (y - 1)^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2

$(0, 1)$ 要剔除。它在每一条 $l_1$ 上，却不在任何一条 $l_2$ 上：代入 $l_2$ 得 $-d$ ，而 $d \ne 0$ 。

图 2-1 · 五种方法各自的典型构型。虚线是轨迹方程的解集，实线是参数走遍区间时动点真正描出的轨迹，两者不重合处即须剔除的部分。可切换方法，并调构型参数与动点参数。

3 · 阿波罗尼斯圆

定理 3.1 平面内到两个定点 $A$ 、 $B$ 的距离之比为常数 $\lambda$ （ $\lambda > 0$ 且 $\lambda \ne 1$ ）的点，其轨迹是一个圆，称为阿波罗尼斯圆（Apollonius circle）。

证明记 $A(a_1, a_2)$ 、 $B(b_1, b_2)$ ，动点 $P(x, y)$ 。条件 $|PA| = \lambda |PB|$ 两边平方并展开，得

(1 - \lambda^2)(x^2 + y^2) - 2(a_1 - \lambda^2 b_1)x - 2(a_2 - \lambda^2 b_2)y + (a_1^2 + a_2^2) - \lambda^2(b_1^2 + b_2^2) = 0

$\lambda \ne 1$ 时二次项系数 $1 - \lambda^2$ 不为零，两边除以它再配方，得圆心 $\frac{A - \lambda^2 B}{1 - \lambda^2}$ 、半径 $\frac{\lambda |AB|}{|1 - \lambda^2|}$ 的圆。距离非负，两边平方可逆，展开与配方都是恒等变形，故解集与轨迹逐点相等，这一次没有要剔除的点。 $\blacksquare$

另一条算路给出同一个圆：把 $AB$ 按 $\lambda$ 内分与外分的两点 $\frac{A + \lambda B}{1 + \lambda}$ 与 $\frac{A - \lambda B}{1 - \lambda}$ 各自满足距离之比为 $\lambda$ ，且它们是这个圆的一条直径的两端。locus.test.ts 拿它当参照量，验的是配方的结果而不必重抄配方。

$\lambda$ 逼近 $1$ 时圆心与半径的分母都是 $1 - \lambda^2$ ，两者同阶发散；圆本身却没有跑掉。跑掉的是外分点 $\frac{A - \lambda B}{1 - \lambda}$ ，它把圆拽成一条直线，那条直线就是 $AB$ 的中垂线，也正是 $\lambda = 1$ 的答案。取 $A(-3, 0)$ 、 $B(3, 0)$ ，圆离中垂线最近的那一点的距离有闭式

\bigl|\,|x_0| - r\,\bigr| = \frac{3\,|1 - \lambda|}{1 + \lambda}

按 $|1 - \lambda|$ 一阶趋零。 $\lambda = 1 - 10^{-4}$ 时圆心与半径都在 $3 \times 10^4$ 量级，而这条缝只有 $1.5 \times 10^{-4}$ 。

这条缝也是「同量级大数相减」的一个现成标本。实测（node v26，双精度）： $1 - \lambda = 10^{-6}$ 时闭式与「圆心减半径」的相对误差还只有 $7.1 \times 10^{-5}$ ， $10^{-7}$ 跳到 $1.8 \times 10^{-2}$ ， $10^{-8}$ 已是 $3$ 倍， $10^{-9}$ 时直接相减给出 $0$ ，而真实缝宽是 $1.5 \times 10^{-9}$ 。apolloniusGap 只给闭式，不给相减。

图 3-1 · 到两定点距离之比为

\lambda

的点的轨迹。可调

\lambda

观察圆心与半径随

1 - \lambda^2

同阶发散，并对照闭式与直接相减两种算法给出的圆到中垂线的距离。

4 · 剔除清单的来源

来源	例	方程为什么留不住它
分母为零、斜率不存在	直接法的 $(\pm 2, 0)$	化简时两边同乘了一个可能为零的量
参数的极限位置	参数法的 $(-2, 0)$ 、交轨法的 $(0, 1)$	消参把参数的无穷远处也算进了解集
构型自身的存在性约束	定义法里动圆的半径须为正	这一条根本没进过化简

第二类的点常被当成「差一点点就取到了」，实测不支持这个说法。参数法那一栏取 $b = 1.5$ ： $t = 12$ 时动点离洞还有 $0.2498$ ， $t = 10^3$ 时是 $3.0 \times 10^{-3}$ ， $t = 10^6$ 时是 $3.0 \times 10^{-6}$ 。距离按 $1 / |t|$ 一阶趋零，加密参数只会让它更小，永远不会让它变成零。

第三类最容易漏，定义法那一栏就栽在它上面。 $|PC_1| + |PC_2| = 1 + r_2$ 认出椭圆之后方程已经写完，但动圆的半径 $R = |PC_1| - 1$ 还得为正，而这个要求不出现在化简过程里。 $C_1$ 本身是这个椭圆的一个焦点， $|PC_1|$ 的最小值是 $a - c$ ，约束于是化为 $a - c > 1$ ，即 $r_2 > 7$ 。这一栏原先给 $r_2$ 的下界取的是 $5.5$ ，单测第一次跑就断在 $R > 0$ 上： $r_2 = 6$ 时左顶点处 $R = -0.5$ ，那一段「动圆」根本不存在，椭圆左端有一整段弧不属于轨迹。改动落在构型的参数范围上（下界抬到 $7.5$ ），正文的推导没有跟着改； $r_2 = 7$ 是临界值， $R = 0$ ，动圆退化成点圆。

值得一提的是纯粹性那一侧一直很干净：五个构型各取四百个采样点代进自己的方程，最大残差落在 $4.4 \times 10^{-16}$ 与 $6.7 \times 10^{-16}$ 之间，也就是两三个 ULP。出问题的从来是完备性那一侧，而完备性不归数值管，它是推导之外补上的一次逻辑检查。

5 · 参考文献

Locus (mathematics). Wikipedia. 轨迹的定义，以及「点集等同于方程的解集」这一表述。https://en.wikipedia.org/wiki/Locus_(mathematics)
Circles of Apollonius. Wikipedia. 阿波罗尼斯圆的定义、圆心与半径，以及比值为 1 时的退化。https://en.wikipedia.org/wiki/Circles_of_Apollonius
Parametric equation. Wikipedia. 参数方程与消参，含圆的有理参数化。https://en.wikipedia.org/wiki/Parametric_equation
Thales's theorem. Wikipedia. 直径所对的圆周角为直角，交轨法那一栏的几何依据。https://en.wikipedia.org/wiki/Thales%27s_theorem