采样、Nyquist 与混叠
DFT 的输入是离散样本。可是把连续世界采样成一串点，会丢失信息——而且丢得很隐蔽。本页讲两个工程中高频出现的问题：混叠 aliasing（采样太疏，高频伪装成低频）和频谱泄漏 spectral leakage（窗口不是整周期，能量糊成一片）。
1 · 混叠：采样定理与 Nyquist 频率
Nyquist–Shannon 采样定理：要无歧义地还原一个信号，采样率 fs 必须大于信号最高频率的 2 倍。那条分界线 fs/2 叫
Nyquist 频率。一旦信号频率越过它，采样点就再也分不清高频和某个低频——高频会折叠成一个幻影低频。
把信号频率 f 拖过 fs/2:细蓝线是真实高频信号，圆点是采样点，粗橙线是这些采样点实际代表的那条低频——它和真实信号在采样点上完全重合，采样后再也无法区分。这就是车轮倒转、相机摩尔纹的成因。
所以 ADC 前面都有一个抗混叠低通滤波器。 录音、相机、示波器在采样之前必须先用模拟低通把超过 Nyquist 的频率滤掉，否则它们会永久折叠进可用频段、再也去不掉。CD 采样率 44.1kHz，正是为了让 Nyquist(22.05kHz)罩住人耳上限 ~20kHz。
2 · 频谱泄漏与加窗
DFT 默认你给的这段样本正好是整数个周期、首尾能无缝衔接成无限循环。若不是（频率落在两个 bin 之间），循环接缝处就有突变，等效于信号被一个矩形窗硬切——突变带来高频，能量从该有的那根谱线泄漏到周围所有 bin。
拖周期数：整数（如 6.0）→ 谱是干净一根；非整数（如 6.5）→ 能量糊成一片（泄漏）。换窗函数(Hann / Hamming)：它把样本两端平滑地按到 0，接缝不再突变，泄漏的「裙边」大幅压低（代价是主峰变胖一点）。
没有免费的午餐。 加窗压低了泄漏裙边，却让主峰变宽——频率分辨率下降。Hann 适合看清弱信号旁的强信号、Hamming 旁瓣更低，矩形窗主峰最细但泄漏最重。实际频谱仪、声码器都在「分辨率 vs 泄漏」之间按场景选窗，这是一个需要权衡的工程决策。