6N² 个交点

魔方的贴纸图：三束圆与转层

一段流传颇广的动图把魔方画成一张图：左边五十四个彩色圆点摆在几条灰色圆弧上，右边一个三阶魔方不停地转，每转一次左边的颜色就跟着流动一轮，配的说明是「魔方是一张有 43 quintillion 个顶点的图」。说明与画面说的是两张不同的图。说明里那张的顶点是魔方的整个状态，三阶共 $8! \cdot 3^7 \cdot 12! \cdot 2^{10} = 43\,252\,003\,274\,489\,856\,000$ 个，边是六种面转；画面上那张的顶点只有 $54$ 个，一个顶点就是一张贴纸。本页还原的是后者，并把它推广到任意阶数。

那些圆弧不是随手画的装饰。把动图逐帧取出来、对灰色像素做圆拟合，得到的是三个圆心与三档半径：圆心两两相隔 $120^\circ$ 、离图心 137 像素，半径 192、247、302 像素，九条圆分成三束各三条。再取 54 个色块的重心，每个重心到其中两条圆的距离偏差都在一个像素以内，而到第三束的任何一条都差着上百像素。原先的猜想是每张贴纸对应三个层号、该落在三条圆上，实测把它推翻了：落点只在两条圆上，第三个层号在整面上是常数，图上不必画。

本页按这条实测反推构造：先把层与转动的账算清楚（§1），再从体对角线方向的正投影看出三族平行线（§2），把直线弯成同心圆后交点数自动配平（§3），随后转一层就成了绕一个圆心挪一步（§4），最后把阶数放开到 2 至 7（§5）。

1 · 贴纸与层

$N$ 阶魔方的表面铺着 $6N^2$ 张贴纸，六个面各 $N \times N$ 张。可动结构则沿三根互相垂直的轴切开。

定义 1.1（层） 取一根坐标轴 $a$ 与一个下标 $k$ ， $0 \le k < N$ 。层 $(a, k)$ 指所有沿 $a$ 方向第 $k$ 格的小方块，连同它们表面的贴纸。一根轴给出 $N$ 层，三根轴共 $3N$ 层，每层可独立转四分之一圈。

每张贴纸沿每根轴各属于一层，三个层号把它在方块上的位置定死。转动层 $(a, k)$ 时，落在这一层里的贴纸被搬走，其余原地不动。 $k$ 取 $0$ 或 $N-1$ 时动的是 $N^2 + 4N$ 张：这一面自己的 $N^2$ 张，加上四个侧面各一条 $N$ 张的窄带； $k$ 取中间值时那一面不存在，只动 $4N$ 张。

表 1-1 · 阶数与几项计数。转动外层与转动中间层挪走的贴纸数相差一整面。
阶数 $N$	贴纸 $6N^2$	层数 $3N$	转外层挪动	转中间层挪动
2	24	6	12	无中间层
3	54	9	21	12
4	96	12	32	16
5	150	15	45	20
7	294	21	77	28

$N$ 为奇数时每面正中那张贴纸在本面的转动下原地不动，故「转外层挪动」一栏记的是这一层贴纸的总数 $N^2 + 4N$ ，真正换位的比它少一张。

2 · 体对角线方向的正投影

把方块沿体对角线 $(1, 1, 1)$ 方向作正投影，外轮廓是一个正六边形，三个朝向观察者的面各占一个 $60^\circ$ 菱形。三根轴的投影两两相隔 $120^\circ$ ，垂直于某根轴的那 $N$ 个层平面随之投影成一族互相平行的直线，三族直线两两成 $60^\circ$ 。

这张投影已经把层结构画对了。一张贴纸的两个面内层号，正好是它落在哪两族直线的交点上；第三个层号由所在的面决定，整面共用一个值，图上无须为它画线。

代价是前后重叠： $+a$ 面与 $-a$ 面投影到同一片菱形上，两族平行线交出的每一个点上坐着两张贴纸。分开它们不需要另起炉灶，只需让每族直线弯一点。

3 · 同心圆束与交点计数

把每族平行线换成一束同心圆：圆心放在该族直线的法线方向上、离图心 $\rho$ 处，三个圆心两两相隔 $120^\circ$ ；同一束里层号 $k$ 取第 $k$ 小的半径，于是层号沿半径递增的方向排开。直线是圆心退到无穷远的极限情形，弯过来之后两条圆不再交出一个点，而是交出两个，分居两圆心连线的两侧，一侧归 $+a$ 面、一侧归 $-a$ 面。

计数就此配平：三束两两配对得三组，每组 $N \times N$ 对圆，每对两个交点，共 $3N^2 \times 2 = 6N^2$ 个，与贴纸数一个不差。

命题 3.1 记两个圆心的间距为 $d = \sqrt{3}\,\rho$ 。若同一束内最大与最小半径之差小于 $d$ ，且最小的两条半径之和大于 $d$ ，则任意两条异束的圆都恰有两个交点。

证明两条圆有两个交点当且仅当 $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ 。左半边对所有圆对成立的最紧情形是取同一束内的最大与最小半径，右半边的最紧情形是取全局最小的两条半径。两条前提分别管住这两个极端，其余圆对更宽松。∎

图 3-1 · 三束同心圆与它们两两相交得到的

6N^2

个点。可调阶数与两个半径参数观察交点数与可行域，也可高亮某一束看它穿过哪四个面。

每条圆经过哪些贴纸也随之定下。束 $a$ 的第 $k$ 条圆穿过所有「沿 $a$ 的层号为 $k$ ，且不在 $\pm a$ 两面上」的贴纸，四个侧面各 $N$ 张，共 $4N$ 张。 $\pm a$ 两面上的贴纸沿 $a$ 的层号同样是 $0$ 或 $N-1$ ，但它们的位置由另外两束定，不画在这条圆上。三束合计 $3N \times 4N = 12N^2 = 6N^2 \times 2$ ，与「每个交点恰在两条圆上」互相印证。

4 · 圆上的弧与转动

转动层 $(a, k)$ 把这 $4N$ 张贴纸在四个侧面之间轮换一圈。按绕束 $a$ 圆心的幅角把它们排成一条环形带子，四个面各占连续的一段弧，转动把整条带子挪 $N$ 格。这条性质由 core/layout.test.ts 对 2 至 7 阶、全部 $3N$ 条圆、两个转向逐条验着：每条带子上 $4N$ 个位移值只有一种取值，且必为 $N$ 或 $3N$ ，后者就是反向的 $N$ 格。

图 4-1 · 一条圆上的

4N

张贴纸、四段弧，以及它们在一次转动下沿圆弧的去处。下方两条带子是同一件事的另一种写法，可切换层与转向观察位移恒为

N

。

转外层时还有一份账。那一面自己的 $N^2$ 张贴纸不在这条圆上，它们在自己那一片曲边九宫格里转过 $90^\circ$ 。这一片由另外两束的圆交出，两族在交点处的夹角按默认参数实测落在 $44^\circ$ 到 $83^\circ$ 之间，就是正六边形里那三个 $60^\circ$ 菱形被圆弧扭过之后的样子。所以那 $90^\circ$ 在图上读起来更像一次翻折：菱形没有四重对称，转四分之一圈落不回自己。

注 · 四段弧沿圆排得很不均匀。三阶 U 层那条圆上，十二张贴纸的行程分成四档： $46^\circ$ 、 $60^\circ$ 、 $194^\circ$ 、 $60^\circ$ ，四档相加恰是一整圈。最长那一档跨在两片较远的九宫格之间，这两片分列圆心两侧，之间的弧要绕过圆的顶端。转动动画里因此有三张贴纸跑得比同伴远得多，那一截长途正是这 $194^\circ$ 。

5 · 二阶到七阶的形状

构造的自由度只有两个：中间那条圆的半径 $r_\text{mid}$ ，与最外最内两条的半径差 $s$ （圆心间距 $d = \sqrt{3}$ 取作长度单位）。把参考图的实测值换算过来即 $r_\text{mid} = 1.803$ 、 $s = 0.803$ ，本页的默认取值以它为准，并让 $s$ 随阶数放大，免得圆条数变多之后相邻两条越挤越近。

$s$ 的上限是扫出来的，结果有点出乎意料：命题 3.1 的可行域允许 $s$ 一直取到 $d = 1.732$ ，但 $s$ 超过约 1.14 时「四个面各占一段连续的弧」就不再成立，而九宫格之间开始咬合更早，约在 1.05。更要紧的是这两个上限与阶数无关——一片九宫格的大小只由 $r_\text{mid}$ 与 $s$ 决定，阶数只改变往这片里塞多少个点。默认值把 $s$ 封在 1.0；七阶那 294 个点靠缩小点半径塞进同样大的一片九宫格。

图 5-1 · 平面图与实体魔方共用一份贴纸状态。可调 2 至 7 阶，选层转动或连着随机转，观察那条圆上的贴纸沿弧整体挪 N 格；右侧可拖动改视角。

实体那半边没有复用站内的 shared/geom3d.ts，理由是它的屏幕基满足 $\text{right} \times \text{up} = +\text{fwd}$ ，与「沿 fwd 看过去」应有的右手系差一个镜像。立体几何的图形不在乎左右手，一个正方体的镜像还是正方体；魔方在乎，镜像之后 R 的顺时针会变成逆时针，页面上的记号与实体对不上。core/view.ts 改为自带一套十几行的正投影，并在单测里把 $\text{right} \times \text{up} = -\text{dir}$ 与「默认视角下 R 在右、F 在左」一起钉死。

另一处踩到的是 SVG 圆弧的 sweep-flag。转动去处的那些虚线弧本该严丝合缝地贴着圆走，第一版却整片横穿图心：给定半径与两个端点的圆弧有两个可能的圆心，sweep-flag 取反就选中了另一个。根子在画布的 $y$ 轴朝下——数学坐标里的逆时针在屏幕上是顺时针，两套口径差一个镜像，与上一段是同一个坑的两种穿法。

6 · 参考文献

Rubik's Cube. Wikipedia. 三阶魔方的构造、记号与状态数的推导。https://en.wikipedia.org/wiki/Rubik%27s_Cube
Rubik's Cube group. Wikipedia. 以面转为生成元，魔方状态构成的置换群。https://en.wikipedia.org/wiki/Rubik%27s_Cube_group
Optimal solutions for the Rubik's Cube. Wikipedia. 上帝之数：三阶任意状态在半转记号下 20 步内可解。https://en.wikipedia.org/wiki/Optimal_solutions_for_the_Rubik%27s_Cube
Isometric projection. Wikipedia. 沿体对角线的正投影，正方体成正六边形、可见面成 60° 菱形。https://en.wikipedia.org/wiki/Isometric_projection
Pencil (geometry). Wikipedia. 圆束的定义，同心圆束是其中最简单的一族。https://en.wikipedia.org/wiki/Pencil_(geometry)
Incidence structure. Wikipedia. 点与线的关联结构；本页那张图是 $6N^2$ 个点与 $3N$ 条圆的关联图。https://en.wikipedia.org/wiki/Incidence_structure