r₁ + r₂ = 2a

椭圆的定义与标准方程

到两个定点的距离之和为常数的点，轨迹是椭圆。定义里的两个定点是焦点，那个常数是长轴长 $2a$ 。本节从定义出发推出标准方程，并把 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 三个量的关系钉住。

1 · 定义与它的边界条件

定义 1.1（椭圆） 平面内与两个定点 $F_1$ 、 $F_2$ 的距离之和等于常数（大于 $|F_1F_2|$ ）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点是椭圆的焦点， $|F_1F_2| = 2c$ 是焦距。

括号里的条件不可省。设常数为 $2a$ ： $2a > 2c$ 时轨迹是椭圆； $2a = 2c$ 时只有连接两焦点的线段（线段上每点到两端距离之和恰为 $2c$ ）； $2a < 2c$ 时无轨迹，因为三角形两边之和不小于第三边，距离之和不可能小于 $|F_1F_2|$ 。

图 1-1 · 椭圆上一点的两条焦半径。可调半轴与点的位置，读数给出两条焦半径与它们的和，后者恒为

2a

，与点的位置无关。

2 · 标准方程

把焦点放在 $x$ 轴上、中心放在原点（ $F_1(-c, 0)$ 、 $F_2(c, 0)$ ），设 $b^2 = a^2 - c^2$ ，定义式化简后得

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)

$a$ 是长半轴， $b$ 是短半轴， $c$ 是半焦距，三者满足

a^2 = b^2 + c^2

这个关系是本页最该记住的一条：椭圆的三个量里知道两个就能定出第三个。它与勾股定理形状相同，但含义不同： $a$ 是斜边而不是直角边，短半轴与半焦距才是两条直角边。 $b^2 = a^2 - c^2$ 写反成 $b^2 = a^2 + c^2$ 是双曲线的关系（见双曲线与渐近线 §2）。

焦点在 $y$ 轴上时方程写成 $\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1$ ，判据是「哪个分母大，焦点就在哪个轴上」。 $a$ 永远配长轴，不是永远配 $x$ 。

3 · 三个量的读法

例 3.1 已知椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ 。 $a = 5$ 、 $b = 3$ ，故 $c = \sqrt{25 - 9} = 4$ ，焦点 $(\pm 4, 0)$ ，焦距 $8$ ，长轴长 $10$ ，短轴长 $6$ ，离心率 $e = \frac{c}{a} = 0.8$ 。曲线上任一点到两焦点的距离之和恒为 $10$ ——取顶点 $(5, 0)$ 验算： $9 + 1 = 10$ 。

core/conic.ts 的构造函数只接受 $a$ 与 $b$ ，其余的量一律由它们算出。单测据此反过来验证：沿曲线取六十个点，逐点计算两条焦半径之和，与 $2a$ 比对，验的是「构造出来的 $c$ 与 $a$ 、 $b$ 自洽」这件事，而不是把公式抄一遍。这类测试的好处是它不依赖任何中间结论：定义量若不为常数，说明构造有错，无须再猜错在哪一步。

4 · 圆是椭圆的极端情形

$b \to a$ 时 $c \to 0$ ，两个焦点重合于中心，椭圆退化成圆，离心率为零。此时准线（见离心率与统一定义 §2）退到无穷远—— $x = \pm\frac{a}{e}$ 的分母趋于零。实现里因此把 $e = 0$ 的准线列表置空，而不是让 $\pm\infty$ 流进后续计算。

另一端 $b \to 0$ 时 $c \to a$ 、 $e \to 1$ ，椭圆压扁成一条线段。这一端在数值上更容易碰到： $e = 0.99$ 时 $\frac{b}{a} = 0.141$ ， $e = 0.9999$ 时 $\frac{b}{a} = 0.0141$ ——离心率再靠近 $1$ 一个数量级，短半轴只缩小约三倍，故「看起来很扁」对应的离心率往往比直觉高。

5 · 参考文献

Ellipse. Wikipedia. 椭圆的定义、标准方程与各量的关系。https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse
Semi-major and semi-minor axes. Wikipedia. 长短半轴与半焦距的关系。https://en.wikipedia.org/wiki/Semi-major_and_semi-minor_axes
Focus (geometry). Wikipedia. 焦点的定义及其在三族圆锥曲线中的地位。https://en.wikipedia.org/wiki/Focus_(geometry)