|r₁ − r₂| = 2a

双曲线与渐近线

把椭圆定义里的「和」换成「差的绝对值」，得到的是双曲线。两条曲线的方程只差一个符号，而形态相差很远：椭圆是闭合的，双曲线有两支且各自贴向一条直线延伸到无穷远。

1 · 定义与两支的由来

定义 1.1（双曲线） 平面内与两个定点 $F_1$ 、 $F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于 $|F_1F_2|$ ）的点的轨迹叫做双曲线。

条件是 $0 < 2a < 2c$ ，与椭圆的 $2a > 2c$ 正相反。取绝对值是两支存在的原因： $r_1 - r_2 = 2a$ 给出靠近 $F_2$ 的那一支， $r_2 - r_1 = 2a$ 给出另一支。省掉绝对值只得到一支，这是「求轨迹」题里常见的漏解。

$2a = 2c$ 时轨迹退化成两条射线（焦点连线的两侧延长部分）， $2a > 2c$ 时无轨迹。

2 · 标准方程与 c² = a² + b²

焦点在 $x$ 轴上时

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad c^2 = a^2 + b^2

与椭圆的 $a^2 = b^2 + c^2$ 对照：双曲线一族里 $c$ 是最大的那个， $c > a$ 恒成立，故离心率 $e = \frac{c}{a} > 1$ 。 $b$ 不再是「短半轴」：双曲线上没有一个点的纵坐标是 $b$ ，它只是渐近线的斜率里的那个分子，课本称为虚半轴。

判断焦点在哪个轴上，看的是哪一项为正： $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴， $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ 的焦点在 $y$ 轴。这与椭圆「看分母大小」的判据不同，两处判据混用是另一个常见错处。

图 2-1 · 双曲线的两支、渐近线与一点的两条焦半径。可调半轴与点的位置，读数给出两条焦半径之差的绝对值，它恒为

2a

。

3 · 渐近线

把方程右端的 $1$ 换成 $0$ ，得 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ ，即两条直线

y = \pm\frac{b}{a}x

它们是双曲线的渐近线：曲线上的点沿支延伸时到渐近线的距离趋于零，但永不为零。实测 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ 的右支： $x = 5$ 处到渐近线 $y = 1.5x$ 的距离是 $0.3473$ ， $x = 20$ 处降到 $0.0834$ ， $x = 100$ 处 $0.0166$ ， $x = 1000$ 处 $0.00166$ ——横坐标每放大十倍，距离缩小约十倍，而始终为正。

渐近线由 $\frac{b}{a}$ 唯一决定，故它不区分「共渐近线」的一族双曲线： $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = \lambda$ 对任意非零 $\lambda$ 都有同一对渐近线， $\lambda > 0$ 时焦点在 $x$ 轴， $\lambda < 0$ 时在 $y$ 轴。

4 · 与渐近线平行的直线只交一支

一条与渐近线平行（而不重合）的直线，与双曲线恰有一个公共点。原因在代数上：联立后二次项的系数是 $\frac{1}{a^2} - \frac{k^2}{b^2}$ ， $k = \pm\frac{b}{a}$ 时它恰为零，方程退化成一次，只剩一个根。

这与「相切」是两件不同的事，而两者在「公共点个数」这一列上长得一样。相切是二次项系数不为零而判别式为零；退化是二次项系数为零。lineConic 因此把这一支单独标成 degenerate，而不是并进 tangent；分类靠系数，不靠数交点。这条区分在直线与圆锥曲线的联立 §3 里还要再用一次。

注 · 这个退化在浮点下是刀刃上的平衡。取 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ 与 $y = kx + 2$ ： $k = 1.5$ 时二次项系数恰为零，得唯一交点 $x \approx -2.1667$ ； $k$ 改成 $1.5 + 10^{-9}$ ，系数变成 $-3.3 \times 10^{-10}$ ，照公式解出两个根，第二个落在 $x \approx -2.0 \times 10^9$ 处。那个交点在数学上是真的（直线终究会追上另一支），但它离题目关心的区域十亿倍远，坐标本身也已被相消吃掉大半有效数字。故实现里的容差取相对量：这一档被归入退化，偏差放大到 $10^{-4}$ （系数 $-3.3 \times 10^{-5}$ 、远根落在 $2 \times 10^4$ ）时才按两个交点报出。

5 · 参考文献

Hyperbola. Wikipedia. 双曲线的定义、标准方程、渐近线与离心率。https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbola
Asymptote. Wikipedia. 渐近线的定义与「距离趋于零而不为零」的表述。https://en.wikipedia.org/wiki/Asymptote
Hyperbola. Wolfram MathWorld. 双曲线的各项参数、渐近线与共渐近线的一族。https://mathworld.wolfram.com/Hyperbola.html