在某点处 · 过某点

导数的几何意义与切线方程

割线斜率的极限是一个数，这个数同时也是一条直线的斜率： $h \to 0$ 时割线绕着定点 $(x_0, f(x_0))$ 转动，它的极限位置就是曲线在该点的切线。导数由此获得几何意义—— $f'(x_0)$ 是切线的斜率，而切线方程随之可写。

1 · 切线的定义之变

初中定义圆的切线为「与圆只有一个公共点的直线」。这个定义在一般曲线上立刻失效： $y = x^3$ 在 $x_0 = 1$ 处的切线 $y = 3x - 2$ 与曲线还交于 $x = -2$ ，公共点有两个；而 $y = x$ 与抛物线 $y = x^2$ 交于两点却不是切线。

微积分改用极限来定义：过 $(x_0, f(x_0))$ 与邻近点 $(x_0 + h, f(x_0 + h))$ 作割线，若 $h \to 0$ 时割线的斜率有极限 $f'(x_0)$ ，则过 $(x_0, f(x_0))$ 且斜率为 $f'(x_0)$ 的直线是曲线在该点的切线。定义只约束切点附近的局部行为，对曲线在远处如何走向不作任何断言。

定义 1.1（切线） 设 $f$ 在 $x_0$ 处可导。曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线是过该点、斜率为 $f'(x_0)$ 的直线，其方程为 $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ 。

2 · 切线方程与切点之外的公共点

点斜式给出的方程整理后即 $y = f'(x_0) \cdot x + \bigl(f(x_0) - f'(x_0) x_0\bigr)$ 。以 $f(x) = x^3$ 、 $x_0 = 1$ 为例： $f(1) = 1$ 、 $f'(1) = 3$ ，切线为 $y = 3x - 2$ 。它与曲线的公共点由 $x^3 - 3x + 2 = 0$ 给出，即 $(x - 1)^2 (x + 2) = 0$ ，切点 $x = 1$ 是二重根，另有单根 $x = -2$ 。

切线与曲线相切的代数特征正是这个二重根：差函数 $f(x) - \bigl(f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\bigr)$ 在切点处函数值与导数值同时为零。 $x_0 = 0$ 时更极端，切线 $y = 0$ 直接穿过曲线，切点两侧曲线分居切线上下。

图 2-1 · 切线与它同曲线的公共点。在某点处一栏拖动切点，空心点标出切点之外的公共点；过某点一栏拖动定点

P

，图上给出全部切线与对应的切点。

3 · 切点未知的一类问题

设切点为 t

「求过点 $P(p, q)$ 的切线」与「求在 $x_0$ 处的切线」是两类问题。后者切点已给定，代公式即可；前者只知道切线经过 $P$ ，切点是未知数。设切点横坐标为 $t$ ，切线方程为 $y = f'(t)(x - t) + f(t)$ ，代入 $P$ 得

f(t) + f'(t)\,(p - t) = q

这是关于 $t$ 的方程，每个根给出一条切线。 $f(x) = x^2$ 与点 $P(0, -1)$ ：方程化为 $-t^2 + 1 = 0$ ，得 $t = \pm 1$ ，两条切线 $y = 2x - 1$ 与 $y = -2x - 1$ 。

警示 · 点落在曲线上并不意味着只有一条切线，也不意味着切点就是该点。 $f(x) = x^3$ 与点 $P(1, 1)$ ：方程化为 $-2t^3 + 3t^2 - 1 = 0$ ，即 $-(t - 1)^2 (2t + 1) = 0$ ，除 $t = 1$ 外还有 $t = -\frac{1}{2}$ 。后者给出的切线 $y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}$ 切于 $\bigl(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{8}\bigr)$ ，而它同样穿过 $P$ 。把「过 $P$ 的切线」直接按「在 $P$ 处的切线」处理会漏掉这一条。

4 · 二重根在数值实现里的位置

$t$ 的方程 $-(t - 1)^2(2t + 1) = 0$ 在 $t = 1$ 处不变号： $t$ 从 $0.9$ 增到 $1.1$ ，方程左端的值先增到 $0$ 再回落，符号始终不变。只按「相邻采样点异号」找根的实现会漏掉整个 $t = 1$ ，恰好漏掉那条最容易验算的切线。core/calculus.ts 的 rootsOf 因此在变号分支之外另设一支：把 $|g|$ 的局部极小用三分法细化，若细化后仍贴着零就算一个根。收敛判据取相对量，参照的是网格上 $|g|$ 的最大值—— $3x^2$ 这类量级小的导函数在绝对阈值下会被整体判为零。

同一支代码也解释了 meetsAgain 为何要按距离剔除切点：切点在差函数里本就是重根，rootsOf 一定会把它报出来，而调用方要的是「除切点之外还交于哪里」。 $x^3$ 在 $x_0 = 1$ 处，剔除后剩下的根算得 $-2$ ，与因式分解的结果一致到打印精度。

5 · 参考文献

Tangent. Wikipedia. 切线的极限定义、与「只有一个公共点」这一旧说法的分别。https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent
Tangent lines to circles. Wikipedia. 圆的切线性质，以及它为何不能推广成一般曲线的定义。https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_lines_to_circles
Multiplicity (mathematics). Wikipedia. 重根的定义，以及相切与二重根的对应。https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicity_(mathematics)