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导数 · 从变化率到极值与不等式

「第 1 秒末有多快」这个问题问的不是任何一段时间上的平均速度。把观察的时间段不断缩短，平均速度会稳定到一个数上，这个数就是瞬时变化率。导数是它的精确说法：区间长度趋于零时平均变化率的极限。同一个极限在几何上是割线转向切线的极限位置，于是「变化的快慢」与「曲线的陡缓」成了同一件事的两种读法。

本系列的前半是工具。基本初等函数的导数各有闭式，四则法则与链式法则把复合出来的函数化归到这些闭式上；切线方程随导数值一并写出，而「在某点处的切线」与「过某点的切线」是两类不同的问题——后者切点未知，条数不一定是一条。后半是这套工具的用场：导数的符号给出单调区间，符号的变化给出极值，端点与驻点一并比较给出闭区间上的最值；把待证的不等式作差成一个函数，再证它的最小值不小于零，超越函数的不等式因此也能算。e^x ≥ x + 1 与 ln x ≤ x − 1 是这条路线上最常用的两条结论，它们各自就是一条切线。再往上一阶，二阶导数的符号给出曲线的弯曲方向，变号处即拐点；把定义域、奇偶性、零点、极值、凹凸与渐近线凑齐，图象的形状就是算出来的。最后一站是建模：把「用料最省」「利润最大」「用时最短」写成一个一元目标函数，定出定义域，再把驻点与可取的端点一并比较。光的折射定律就是这样从「用时最短」求导得来的。

导数的概念与运算

从平均变化率到瞬时变化率，从割线到切线：导数是一个极限，它同时是切线的斜率。求导法则把这个极限的计算收敛成几条可反复套用的规则——基本初等函数的导数表，加上和 / 积 / 商 / 复合四条法则。

割线斜率 → 瞬时变化率

平均变化率与导数的定义

平均变化率是两点连线的斜率，它依赖区间长度。令区间长度趋于零，割线斜率的极限即函数在该点的瞬时变化率，记作 f′(x₀)；把每个点的导数值再看成函数，得到导函数。

 在某点处 · 过某点

导数的几何意义与切线方程

切线是割线的极限位置，斜率即该点的导数值，切线方程由点斜式写出。「在某点处的切线」切点已知，「过某点的切线」切点是未知数，需先解出切点，条数不一定是一条。

 和差积商 · 复合

基本求导公式与运算法则

基本初等函数的导数各有闭式，四则法则与链式法则把复杂函数的求导化归成这些闭式。积与商的导数都不是各自导数的同类运算，复合求导须乘上内层的导数。

切线的定义换过一次

初中定义圆的切线为「与圆只有一个公共点的直线」，这个定义在一般曲线上立刻失效：y = x³ 在 x = 1 处的切线 y = 3x − 2 与曲线还交于 x = −2，而在 x = 0 处的切线 y = 0 干脆穿过切点。微积分改用极限定义切线——过切点与邻近点作割线，割线的极限位置即切线。新定义只约束切点附近的局部行为，对曲线在远处如何走向不作任何断言，这也是它能推广到任意可导函数的原因。 导数的应用 · 单调性、极值与不等式

导数的符号决定函数的升降，符号的变化处产生极值，而闭区间上的最值还要把端点算进候选。同一套办法用到不等式上：作差构造函数，用导数定出它的最小值，再看这个最小值是否不小于零。二阶导数的符号再给出曲线的弯曲方向，它的变号处是拐点；连同渐近线，函数的图象可以算出来而不必描点去猜，实际问题里的「用料最省」「用时最短」也化归到同一套比较上。

f′ > 0 递增 · f′ < 0 递减

导数的符号与函数的单调性

区间上 f′ > 0 则函数递增，f′ < 0 则递减。求单调区间的步骤是先定定义域、再解导数不等式；孤立的零点不把单调区间断开，f′ ≥ 0 才是递增的等价条件。

 驻点 · 端点 · 变号判别

极值与闭区间上的最值

极值是局部性质，可导函数的极值点必为驻点，反之不然。闭区间上的最值只在两类点上产生：区间内部的驻点与两个端点，逐个比较函数值即可定出。

 二阶导数 · 拐点 · 渐近线

凹凸性、拐点与函数作图

二阶导数的符号给出曲线的弯曲方向，它的变号处是拐点。定义域、奇偶性、零点、极值、凹凸与渐近线六项信息定出图象的形状，描点只用来确认。

 作差构造 · 切线不等式

用导数证明不等式

证 f(x) ≥ g(x) 的通用路线是作差构造 h = f − g，用导数定出 h 的单调性，再证它的最小值不小于零。e^x ≥ x + 1 与 ln x ≤ x − 1 是两条最常用的切线不等式。

极值、最值与端点

极值是局部概念，最值是整体概念，两者的关系比字面看起来松。x³ − 3x 在 x = −1 处的极大值是 2，而它在 x = 3 处的函数值是 18：一个极大值可以远小于同一函数在别处的值。端点更是两头不靠——它不是极值点（只有一侧有函数值，谈不上邻域内比较），却完全可以是最值点：x³ − 3x 于 [−3, 0.5] 上的最小值 −18 就落在左端点。闭区间上求最值因此只需一张短清单：内部驻点的函数值，加上两个端点的函数值，逐个比较。 目标函数 · 定义域端点 · 费马原理

优化建模：从实际约束到最值

实际问题化为一元函数的最值问题，要经设变量、写目标、定定义域、求导比较、回到实际验算五步。定义域端点必须与驻点一并算进候选，而理论最优与实物不符时，该改的往往是目标函数。

理论最优与实物的差距

等体积的圆柱罐用料最省时高恰好等于直径，而市售 330 mL 铝罐的高与直径之比接近 1.74。差距不在算错，而在目标函数写漏了东西：底与盖比侧壁厚、卷封要多吃一圈翻边、握持手感与货架尺寸也都进了真实的成本。把底盖厚度记作侧壁的 k 倍，最优解随即变成 h = 2kr，且与容积无关，反推回去正好落在实物的那个比值上。还有一层数值上的原因。最优点处一阶导数为零，代价的变化是二阶的：半径偏离最优 10% 只多用 0.94% 的材料，偏离 20% 也才多用 3.6%，省下的这点材料抵不过其余约束。

相关链接

概念与几何意义

求导法则

单调性、极值与不等式

凹凸性、拐点与优化

数值实现