DFT：逐个频率「探针」

真实世界里我们拿到的不是连续函数，而是一串采样点 $x[0], x[1], \dots , x[N-1]$。离散傅里叶变换 (DFT) 把这 N 个时域样本，变成 N 个频域复数 $X[0..N-1]$:

$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\, e^{-i 2\pi k n / N} = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\cos\frac{2\pi k n}{N} - i \sin\frac{2\pi k n}{N}\right)$$

归一化因子 $1/N$ 按惯例放在逆变换一侧，本页各处均依此约定。

每个 $X[k]$ 是一个探针：它把信号和「频率为 k 的旋转向量」逐点相乘再求和——用旋转向量的语言说，就是把信号缠绕在转速 k 的圆上，看 N 个贡献向量首尾相接后的合矢量有多长。对得上（信号真含这个频率）→ 向量同向叠加成一根长矢量；对不上 → 向量绕圈互相抵消，合矢量≈0。