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e^(iθ) · 几何心脏

旋转的向量：复指数 e^(iθ)

换一个视角。正弦和余弦实为同一件事的两个影子——一个匀速旋转的向量。欧拉公式把它写成一行：

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta

eiθe^{i\theta} 是复平面单位圆上的一个点，θ 增大它就逆时针转。它的实部（水平影子）= cos，虚部（竖直影子）= sin。让它以频率 f 旋转 (θ = 2πf·t)，竖直影子随时间画出的，正是一条正弦波。这就是为什么傅里叶用 eiθe^{i\theta} 而不是 sin⁡\sin 与 cos⁡\cos——一个旋转向量，同时装下了振幅（长度）、频率（转速）、相位（起始角）。

左边是旋转向量（圈），右边是它的竖直影子随时间扫出的波。切到「本轮叠加」模式：把好几个不同转速的向量首尾相接（像行星的本轮 epicycle），笔尖画出的就是复杂波形——这正是傅里叶级数中方波展开的几何版本。
图 1-1 · 旋转向量与它的竖直影子。可切到本轮叠加模式，把若干不同转速的向量首尾相接，笔尖画出的即复杂波形。

为什么这是「心脏」？傅里叶级数的复数形式 f(t)=∑kckeikωtf(t) = \sum_k c_k e^{i k \omega t}，现在有了画面：每一项是一个转速为 k 倍、长度为 ∣ck∣\lvert c_k \rvert、起始角为 ∠ck\angle c_k 的旋转向量；把它们首尾相接，笔尖就描出 f(t)。求傅里叶系数 = 反过来问「该用哪些转速、各多长、从哪个角度起转」。DFT 做的就是这个「反求」。

一个关键直觉（在 DFT 一页展开）。想知道信号里有没有「频率 f」的成分？把信号缠绕在一个以 f 转动的圆上，看缠出来的图形质心有没有偏离原点——偏得越远，说明该频率的能量越强。DFT 就是把这件事对每个频率算一遍。