图论 · 从基础语言到现代结构理论
一张 graph 只是「一组顶点 + 一组连接它们的边」，简单到能写在餐巾纸上；难的是从这点结构里推出深刻的定理。本系列沿一条经典脉络铺开 （Diestel 教材的骨架）：先把基础语言说清楚，再看五类经典结构 （匹配 / 连通性 / 平面图 / 着色 / 流），然后看一类反复出现的母题——整体条件如何逼出局部结构 （极值 / Ramsey / Hamilton / 随机图），最后落到现代结构理论 （无限图与图子式）。
每页都把抽象定义落到一张能动手的图上：拖顶点、改参数、点单步，看增广路怎么扩、切分怎么分两侧、着色怎么回退、Euler 公式怎么对上数。能单步执行的算法走统一的 frame 引擎 （预先展开成快照、纯函数渲染）；纯定理则用构造 / 反例 / 等价刻画把「为什么成立」摆出来。前置知识只需读得懂集合与简单计数；若想先熟悉图上的算法，可看 Shortest Path 与 MST。
图的基本语言：顶点、边、度、路、圈、连通
图论最基础的一批词汇：顶点、边、度与握手引理，walk / path / cycle 的区别，连通分支、割点与桥，以及树、二部图与完全图。
子图谱系：子图、导出、生成、细分、子式
「从一张图里取出一张小图」有好几种严格不同的方式，层层放宽：subgraph 删点删边、induced subgraph 选一组点连带其全部内部边、spanning subgraph 留全部点；再到改写拓扑结构的两类——subdivision / topological minor（把边换成路）与 minor（允许收缩连通块成点）。并排看同一张图按不同方式取出的结果，这套层级是图子式理论的入口。
匹配：增广路与三条配对定理
匹配靠增广路做到最大。三条经典定理：Hall 的邻集判据、König 的匹配与点覆盖相等、Tutte 的奇分支判据。
连通性：分隔集与 Menger 定理
拆开两点最少删几个顶点，与两点间最多几条内部不相交路，Menger 定理断言这两个数恒相等。
平面图：Euler 公式、Kuratowski 与对偶
平面图把平面切成若干面，Euler 公式把点、边、面拴在一起并推出边数上界；Kuratowski 与 Wagner 给出不可平面的判据。
着色：顶点、边、列表与完美图
色数与贪心着色的 Δ+1 上界、团下界，边着色的 Vizing 定理，列表着色，以及 χ = ω 处处成立的完美图。
流：网络流、最大流-最小割与群流
在带容量的网络里沿残量网络找增广路，最大流恰等于最小割；它是 Menger 与 König 的共同祖先。
极值图论：边一多就躲不开的子结构
「边足够多的图，必然含某个固定子图」——这是极值图论的母题。Turán 定理给出不含 K_{r+1} 的图的最大边数，极图是均匀的完全多部图；单步加边看三角形在越过门槛的瞬间被迫出现。再眺望两座高峰：Hadwiger 猜想（χ ≥ t ⟹ 含 K_t 子式）与 正则性引理（任何稠密图都能切成近似随机的少数块）。
Ramsey 理论：完全的混沌并不存在
结构大到一定程度，有序必然涌现。R(3,3)=6 的两面：K5 的构造给出下界，鸽巢论证给出上界。
Hamilton 圈：度数够高就一定绕得回来
判定 Hamilton 圈是 NP-完全的，但度数足够大即可保证存在：Dirac 的每点度不小于 n/2，Ore 的不相邻点度数之和不小于 n。
随机图：概率方法与阈值现象
G(n,p) 每条边独立以概率 p 出现。许多性质在某个阈函数处从几乎必不骤变为几乎必然，巨型分支的涌现即一例。
无限图：射线、末端与拓扑圈空间
顶点无穷多时，射线刻画通往无穷的方向，等价的射线归并成末端；把末端补进去得到的紧空间让若干有限图定理重新成立。
图子式理论：树宽与图子式定理
树分解把图摊到一棵树上，树宽量度它离树有多远；图子式定理断言 minor 关系是良拟序，禁用子式清单必然有限。
这套体系为什么这样分层
相关链接
- Reinhard Diestel — Graph Theory diestel-graph-theory.com 本系列分层骨架所本的标准研究生教材；作者主页提供电子版与勘误。
- Wikipedia — Graph theory en.wikipedia.org 术语、定理与历史的索引式总览，适合按词条对照本系列各页。
- Shortest Path · Dijkstra 本站 图上的算法侧：relaxation 与单步 settle，与本系列的「流 / 连通性」互为补充。
- Minimum Spanning Tree · Prim / Kruskal 本站 生成树与切分定理的算法实现，正好对照本系列「基础语言」里的 tree / cut。