圆心距 · 根轴

圆与圆的位置关系

两圆的位置关系有五种，判据全在圆心距上。与直线和圆那一节相比，五种关系里多出「内含」与「内切」，它们的存在使得判据要比较两个界而不是一个。

1 · 五种关系与两个界

设两圆半径 $r_1$ 、 $r_2$ ，圆心距 $d$ 。

关系	判据	公共点	公切线
外离	$d > r_1 + r_2$	$0$	$4$
外切	$d = r_1 + r_2$	$1$	$3$
相交	$\vert r_1 - r_2 \vert < d < r_1 + r_2$	$2$	$2$
内切	$d = \vert r_1 - r_2 \vert$ （ $d \ne 0$ ）	$1$	$1$
内含	$d < \vert r_1 - r_2 \vert$	$0$	$0$

两个界 $r_1 + r_2$ 与 $|r_1 - r_2|$ 把 $d$ 的取值分成五段，落在界上的两种是相切。同心圆（ $d = 0$ ）是内含的极端情形，半径还相等时两圆重合。

公切线的条数与公共点个数反着来：公共点越多，公切线越少。外离时四条（两条外公切线、两条内公切线），每有一对圆「靠近一步」就消掉一条。

图 1-1 · 两圆的五种关系。可拖动第二个圆的圆心与半径，读数给出圆心距与两个界的比较；相交时图上标出公共弦，其余情形标出根轴。

2 · 根轴：两式相减

两圆的一般方程相减，平方项 $x^2 + y^2$ 抵消，剩下一个一次方程：

(D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + (F_1 - F_2) = 0

这条直线称为两圆的根轴。相交时它就是公共弦所在的直线：两个交点同时满足两个圆的方程，自然也满足相减所得的方程。这一步把「求公共弦」从解二元二次方程组化简成了「解一个线性方程，再与任一圆求交」。

根轴垂直于圆心连线，且在两圆相离时依然存在：它由「到两圆的切线长相等」这一性质刻画，几何上仍是一条实实在在的直线，只是与两圆都不相交。同心圆没有根轴，两式相减后一次项也一并抵消，剩下的是一个矛盾式或恒等式。

例 2.1 求圆 $x^2 + y^2 = 9$ 与圆 $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 4$ 的公共弦所在的直线。两式化为一般式： $x^2+y^2-9=0$ 与 $x^2+y^2-6x-2y+6=0$ 。相减得 $6x + 2y - 15 = 0$ ，即公共弦所在的直线。圆心距 $d = \sqrt{10} \approx 3.162$ ，介于 $|3-2| = 1$ 与 $3 + 2 = 5$ 之间，故两圆确实相交。

3 · 内切与内含的分界

内切与内含都发生在「一个圆在另一个里面」的格局中，分界是 $d = |r_1 - r_2|$ 。这个界比外切那个界容易记错，原因是它带绝对值：谁的半径大并不影响判据，但影响切点的位置。

切点总在圆心连线上，且落在较大的那个圆上：若 $r_1 > r_2$ ，切点在从 $C_1$ 出发经过 $C_2$ 的方向上，距 $C_1$ 恰 $r_1$ ；反过来则从 $C_2$ 一侧量出。circleCircle 的内切分支据此按半径大小选方向，写成 $k = \pm \frac{r_1}{d}$ 两种取法，两个圆谁在里面这件事不能只靠 $d$ 判定。

4 · 分类的容差

浮点计算里「 $d = r_1 + r_2$ 」几乎永远不会精确成立，故五种关系的判定要带容差。相切是一个测度为零的情形：在连续拖动圆心的交互里，若不给容差，屏幕上明明相切的一刻会被判成相交或相离，分类结果在两种之间跳。

circleCircle 的容差取相对量——与 $r_1$ 、 $r_2$ 、 $d$ 的量级挂钩，而不是一个固定的 $10^{-9}$ 。理由与直线那边相同：坐标放大一千倍后，同样的「相切」判定不该突然变严。相交分支里的 $\sqrt{r_1^2 - a^2}$ 还额外与零取大，防止 $a$ 略微超出 $r_1$ 时开出 NaN——这与弦长公式那处的处理是同一个模式（见直线与圆的位置关系 §2）。

5 · 参考文献

Circle–circle intersection. Wolfram MathWorld. 两圆交点的坐标公式与分类。https://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleIntersection.html
Radical axis. Wikipedia. 根轴的定义、与圆心连线垂直，以及三圆的根心。https://en.wikipedia.org/wiki/Radical_axis
Tangent lines to circles. Wikipedia. 两圆公切线的条数与位置关系的对应。https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_lines_to_circles