d 与 r · 弦长与切线

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种。判定有两条路：联立方程消元后看判别式的符号，或者直接比较圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$ 。两者等价，后者不必解方程。

1 · 距离与半径的比较

定理 1.1 设圆心到直线的距离为 $d$ 、半径为 $r$ 。则 $d > r$ 时直线与圆相离， $d = r$ 时相切， $d < r$ 时相交。

判据的来历就是圆的定义：圆上的点到圆心的距离恒为 $r$ ，而直线上离圆心最近的点（垂足）距离为 $d$ 。垂足落在圆外则整条直线都在圆外；恰在圆上则它是唯一的公共点；落在圆内则直线从圆内穿出，两侧各交一次。

联立法给出同一个结论。把直线方程代入圆的方程消去一个变量，得到一个一元二次方程， $\Delta > 0$ 、 $= 0$ 、 $< 0$ 分别对应两个、一个、零个公共点。代数上 $\Delta$ 与 $r^2 - d^2$ 相差一个正因子，故两种判据同号。几何法的好处是不必消元，也不必先讨论「直线是否竖直」——竖直线代入时消去的是另一个变量，联立法要分两种写法。

图 1-1 · 直线与圆的三种关系。可拖动直线的倾斜角与位置观察

d

与

r

的比较、弦长的变化；切一栏改为过定点作圆的切线。

2 · 弦长公式

相交时两交点之间的线段是弦。圆心到弦的垂线平分弦，于是半弦、 $d$ 、 $r$ 构成直角三角形：

\text{弦长} = 2\sqrt{r^2 - d^2}

$d = 0$ 时弦过圆心，弦长取到最大值 $2r$ （直径）； $d \to r$ 时弦长趋于零。这个公式把「求弦长」化归成「求点到直线的距离」，比解出两个交点再算距离省得多。

例 2.1 圆 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 4$ 被直线 $x + y - 2 = 0$ 截得的弦长。圆心 $(1,1)$ 到直线的距离 $d = \frac{|1 + 1 - 2|}{\sqrt{2}} = 0$ ，直线过圆心，弦长即直径 $4$ 。把直线改成 $x + y - 4 = 0$ ，则 $d = \frac{|1+1-4|}{\sqrt 2} = \sqrt 2$ ，弦长 $2\sqrt{4 - 2} = 2\sqrt 2$ 。

公式在 $d$ 略大于 $r$ 时会失效，而失效的方式不是报错。实测 $r = 2$ 、 $d = 2.0000001$ ： $r^2 - d^2 = -4.0 \times 10^{-7}$ ，开平方得 NaN。相离时本来就没有弦，所以正确的写法是先分类、再决定要不要算弦长。lineCircle 按这个次序实现：相离与相切两支直接把弦长置零，只有相交那一支才开平方，且被开的量还先与零取大。判定与计算的先后不是风格问题——反过来写，一个 $10^{-7}$ 量级的浮点误差就能让整个结果变成 NaN。

3 · 切线

$d = r$ 时直线与圆相切，切点就是垂足。已知切点求切线只需一步：切线垂直于该点处的半径，故 $A = x_0 - a$ 、 $B = y_0 - b$ （ $(a,b)$ 为圆心）， $C$ 由过点条件定出。

过一个给定点作切线则要分三种情形：点在圆外有两条，点在圆上一条，点在圆内零条。圆外一点 $P$ 到切点的距离（切线长）由勾股定理给出：

|PT| = \sqrt{|PC|^2 - r^2}

4 · 切点弦：绕开「斜率不存在」

求过圆外一点的两条切线，常见解法是设切线为 $y - y_0 = k(x - x_0)$ ，用 $d = r$ 解出 $k$ 。这个解法有一处必须单独讨论：若其中一条切线竖直，它的 $k$ 不存在，解方程只会得到另一条，答案漏一半。 $k$ 的方程是一元二次的，出现「只有一个根」时就该怀疑漏了竖直的那一条。

tangentLinesFrom 换一条路：先写出切点弦所在的直线

(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2

再拿它与圆求交，两个交点就是两个切点，切线由「 $P$ 与切点」两点式给出。这条路上没有斜率出现，竖直的切线只是一个普通的交点。实现上它还复用了 lineCircle——求切点这件事被化归成了上一节的直线与圆求交。

注 · 切点弦这条直线在 $P$ 落到圆内时依然有方程，且它与圆不相交（此时 $P$ 到圆心的距离小于 $r$ ，代数上对应无实交点）。这与「圆内一点作不出切线」是一致的，故实现里不必为圆内的情形另设分支，只需在最外层按 $|PC|$ 与 $r$ 的比较先分类：圆内直接返回零条，避免把一个空交点列表当成「有切线但算不出来」。

5 · 参考文献

Line–sphere intersection. Wikipedia. 直线与圆 / 球面求交的一般处理。https://en.wikipedia.org/wiki/Line%E2%80%93sphere_intersection
Tangent lines to circles. Wikipedia. 切线的性质、切线长与过一点的两条切线。https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_lines_to_circles
Chord (geometry). Wikipedia. 弦、弦心距与弦长公式。https://en.wikipedia.org/wiki/Chord_(geometry)