配方 · D² + E² − 4F

圆的标准方程与一般方程

圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合。这句定义直接翻译成方程就是标准方程；把它展开并重新命名系数，得到便于联立求解的一般方程。两种写法各有专长，互相转换只需一次配方。

1 · 标准方程

圆心 $C(a, b)$ 、半径 $r$ 的圆上任一点 $(x, y)$ 满足 $\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r$ ，两边平方即

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

三个参数一目了然，故凡是已知或要求圆心与半径的题目都用这一式。圆心在原点时简化为 $x^2 + y^2 = r^2$ 。

2 · 一般方程与配方

把标准方程展开： $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$ 。记 $D = -2a$ 、 $E = -2b$ 、 $F = a^2 + b^2 - r^2$ ，得

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

特征是 $x^2$ 与 $y^2$ 的系数相等且不为零，且没有 $xy$ 项。反向转换靠配方：

\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}

圆心是 $\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$ ，而右端决定这个方程到底画出什么。

3 · 三种情形

定理 3.1 方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 表示圆当且仅当 $D^2 + E^2 - 4F > 0$ ，此时半径为 $\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}$ 。该式等于零时方程只有一个解——点 $\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$ ；小于零时无实数解，方程不表示任何图形。

$x^2 + y^2 - 2x + 1 = 0$ 即 $(x-1)^2 + y^2 = 0$ ，只有 $(1, 0)$ 一个解，习惯上称作点圆； $x^2 + y^2 - 2x + 5 = 0$ 配方后右端是 $-4$ ，实平面上无图形。

图 3-1 · 一般方程的三种情形。可拖动

D

、

E

、

F

观察

D^2 + E^2 - 4F

的符号如何在圆、点、无图形之间切换；另一栏给出三点定圆。

数值实现上这三种情形的判定次序要紧：必须先判右端的符号，再开平方。反过来先算 $r = \frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}$ 再检查，右端为负时 Math.sqrt 返回 NaN，而 NaN 不抛异常也不参与比较（任何与它的比较都是 false），一路传到绘图代码里表现为「圆凭空消失」，看不出是哪一步出的问题。circleFromGeneral 因此返回一个带 kind 字段的结果，把三种情形写进类型，调用方无从忽略。

4 · 三点定圆

不共线的三点唯一确定一个圆。求法用一般式而非标准式：把三点分别代入 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ ，得到关于 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 的三元一次方程组；若代入标准式，未知量 $a$ 、 $b$ 、 $r$ 出现在平方项里，方程组是非线性的。这是一般方程存在的主要理由。

例 4.1 求过 $(0,0)$ 、 $(4,0)$ 、 $(0,3)$ 的圆。代入得 $F = 0$ 、 $16 + 4D + F = 0$ 、 $9 + 3E + F = 0$ ，解出 $D = -4$ 、 $E = -3$ 、 $F = 0$ ，故圆心 $(2, 1.5)$ 、半径 $\frac{\sqrt{16+9}}{2} = 2.5$ 。三点构成直角三角形，斜边中点恰是圆心、斜边之半恰是半径，与结果相符。

注 · circleThrough3 的第一版实现漏了一个负号：两式相减解出的是一般式的 $D$ 与 $E$ ，而圆心是 $\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$ ，直接把解当圆心用就把圆心镜像到了原点另一侧。这个错误在图上不显眼——圆的大小对，位置也「像是那么回事」——但 oracle 单测的第一条（三点是否都落在算出的圆上）立刻给出 $3.68$ 的残差。这类符号错误正是「拿独立参照实现比对」比「肉眼看图」有效的地方。

5 · 参考文献

Circle. Wikipedia. 圆的方程、标准式与一般式的关系。https://en.wikipedia.org/wiki/Circle
Circumscribed circle. Wikipedia. 三点定圆即三角形的外接圆。https://en.wikipedia.org/wiki/Circumscribed_circle
Completing the square. Wikipedia. 配方法与一般式到标准式的转换。https://en.wikipedia.org/wiki/Completing_the_square