数学 / 直线与圆 · 从方程到位置关系 / 平行、垂直与距离 待审核 3 / 6
系数判据 · 点到直线

平行、垂直与距离

两条直线的关系只有三种：平行（含重合）、垂直、以及一般的相交。判据可以写在斜率上，也可以写在一般式的系数上。两种写法在能用时等价，而系数写法少掉一整套分情形。

1 · 两种判据

设 l1:A1x+B1y+C1=0l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0、l2:A2x+B2y+C2=0l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0。

定理 1.1 l1∥l2l_1 \parallel l_2（含重合）当且仅当 A1B2−A2B1=0A_1B_2 - A_2B_1 = 0；l1⊥l2l_1 \perp l_2 当且仅当 A1A2+B1B2=0A_1A_2 + B_1B_2 = 0。

平行判据说的是两个方向向量 (B1,−A1)(B_1, -A_1) 与 (B2,−A2)(B_2, -A_2) 共线，垂直判据说的是两个法向量 (A1,B1)(A_1, B_1) 与 (A2,B2)(A_2, B_2) 数量积为零。两式都是多项式，没有分母。

斜率写法则要分情形。k1=k2k_1 = k_2 只在两条直线都有斜率时可用；k1k2=−1k_1k_2 = -1 更窄——x=1x = 1 与 y=2y = 2 显然垂直，但前者斜率不存在、后者斜率为 00，这个乘积无从代入。课本把「一条竖直一条水平」单列为垂直的一种情形，而系数判据里它只是 1⋅0+0⋅1=01 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0。

2 · 交点与系数行列式

联立两个方程，解得交点的坐标，分母都是行列式 det⁡=A1B2−A2B1\det = A_1B_2 - A_2B_1。这正是平行判据里的那个量：平行时 det⁡=0\det = 0，方程组无唯一解。

det⁡\det 不只是「是否为零」的开关，它的大小还度量结果的可信度。取 l1:x+y−1=0l_1: x + y - 1 = 0 与 l2:x+(1+ε)y−2=0l_2: x + (1 + \varepsilon)y - 2 = 0，两线夹角随 ε\varepsilon 缩小而趋于零，实测交点坐标：

ε\varepsilon det⁡\det 交点横坐标
10−310^{-3} 1.0×10−31.0 \times 10^{-3} −999.00-999.00
10−610^{-6} 1.0×10−61.0 \times 10^{-6} −9.99999×105-9.99999 \times 10^5
10−910^{-9} 1.0×10−91.0 \times 10^{-9} −9.9999992×108-9.9999992 \times 10^8
10−1510^{-15} 1.1×10−151.1 \times 10^{-15} −9.007×1014-9.007 \times 10^{14}
00 00 −∞-\infty

ε=10−9\varepsilon = 10^{-9} 那一行已经丢掉八位有效数字：真值是 −109-10^9 附近的一个数，算出来的却是 −999999916.26-999999916.26。浮点数不是在恰好平行处才失效，而是一路失准过去的。intersect 因此在 ∣det⁡∣|\det| 低于容差时直接返回 null，把「平行或重合」交给调用方处理，而不是把一个量级 101410^{14} 的坐标交出去。

图 2-1 · 两条直线的关系。可拖动各自的倾斜角与位置，读数给出行列式、交点、夹角；两线平行时给出它们的距离。

3 · 点到直线的距离

定理 3.1 点 P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0) 到直线 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 的距离为

d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

分子是把点代入方程左端所得的值，它的符号还标出点落在直线的哪一侧；分母是法向量的长度，作用是把这个值换算成真正的距离。P0P_0 在直线上时分子为零。

竖直线与水平线不必单列：x−2=0x - 2 = 0 到点 (5,7)(5, 7) 的距离是 ∣5−2∣1=3\frac{|5 - 2|}{\sqrt{1}} = 3，代进同一个公式即得。

4 · 两平行线的距离要先归一化

两条平行线的距离等于其中一条上任取一点到另一条的距离。若两式的系数已经完全相同，公式简化为 ∣C1−C2∣A2+B2\frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}——前提是系数相同，而这个前提最容易漏掉。

取 l1:3x+4y−10=0l_1: 3x + 4y - 10 = 0 与 l2:6x+8y+5=0l_2: 6x + 8y + 5 = 0。两者平行，照上式直接算得 ∣−10−5∣5=3\frac{|-10 - 5|}{5} = 3，而真值是 2.52.5：l2l_2 的系数是 l1l_1 的两倍，两个常数项不在同一把尺子上。把 l2l_2 归一化成 3x+4y+2.5=03x + 4y + 2.5 = 0 再算得 ∣−10−2.5∣5=2.5\frac{|-10 - 2.5|}{5} = 2.5，与「取 l1l_1 上的点 (2,1)(2, 1) 到 l2l_2 的距离」核对一致。

parallelDistance 因此先把两式各自归一化到 A2+B2=1\sqrt{A^2 + B^2} = 1 并固定符号，再取常数项之差。归一化的符号约定（A>0A > 0，或 A=0A = 0 时 B>0B > 0）保证每条直线的归一化结果唯一，否则 3x+4y−10=03x + 4y - 10 = 0 与 −3x−4y+10=0-3x - 4y + 10 = 0 会给出两个相差符号的常数项，差值随之算错。单测里这条差额是 33 与 2.52.5，不是舍入量级的偏差，而是错半个身位。

5 · 参考文献

  1. Distance from a point to a line. Wikipedia. 距离公式的多种推导。https://en.wikipedia.org/wiki/Distance_from_a_point_to_a_line
  2. Cramer's rule. Wikipedia. 二元一次方程组的行列式解法。https://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule
  3. Condition number. Wikipedia. 行列式趋零时解的敏感性。https://en.wikipedia.org/wiki/Condition_number