倾斜角与斜率

一条直线的「倾斜程度」需要一个可比较的量。倾斜角是它的角度写法：直线向上的方向与 $x$ 轴正方向所成的角，取值范围 $[0°, 180°)$。斜率是它的比值写法：倾斜角的正切。两种写法各有所长，也各有一处失效。

1 · 倾斜角的取值范围

直线与 $x$ 轴的夹角本可以有两个（互补的一对），课本约定取「向上方向与 $x$ 轴正方向」那一个，范围随之锁定在 $[0°, 180°)$。右端开区间是必要的：$180°$ 与 $0°$ 描述同一批水平直线，两端都闭会让同一条线有两个倾斜角。

平面上每条直线都有倾斜角，包括竖直线（$90°$）。这是倾斜角相对斜率的优势：它没有例外。

2 · 斜率与两点式

$k = \tan \alpha$。$\alpha = 90°$ 时正切无定义，竖直线因此没有斜率——不是斜率为无穷，而是这个量不存在。

过两点 $P_1(x_1, y_1)$ 与 $P_2(x_2, y_2)$ 的直线，若 $x_1 \ne x_2$，斜率为

分母为零正对应竖直线。这个式子与两点的次序无关：交换 $P_1$ 与 $P_2$，分子分母同时变号。

3 · 两者不是线性关系

倾斜角均匀增大时，斜率并不均匀增大。$0°$ 到 $45°$ 之间斜率从 $0$ 长到 $1$，$45°$ 到 $60°$ 只走了 $15°$ 却从 $1$ 长到 $\sqrt{3} \approx 1.732$，而 $89°$ 处已是 $57.29$。实测几档：$89.9°$ 对应 $572.96$，$89.99°$ 对应 $5729.58$，$89.99999°$ 对应 $5.73 \times 10^6$。角度每向 $90°$ 靠近一个数量级，斜率就放大一个数量级。

$90°$ 之后斜率变为负值并从很大的负数往 $0$ 回升：$91°$ 对应 $-57.29$，$135°$ 对应 $-1$，$179°$ 对应 $-0.017$。斜率的符号只区分「钝角还是锐角」，绝对值才反映陡缓。

4 · 「斜率不存在」在浮点里没有标记

数值实现上有一处陷阱：Math.tan(Math.PI / 2) 不返回 Infinity，而是返回 $1.6331 \times 10^{16}$。原因是 $\frac{\pi}{2}$ 本身不能被双精度精确表示，Math.PI / 2 是一个与它相差约 $6 \times 10^{-17}$ 的数，正切在那里是有限值。「斜率是否存在」这件事在浮点数里没有任何标记可查——拿到的只是一个很大的数。

core/geom.ts 因此不靠斜率判断竖直：直线一律以一般式 $Ax + By + C = 0$ 存储，slopeOf 在 $B = 0$ 时返回 null，判据是系数而不是数值的大小。同理，两点式的分母为零由「横坐标是否相等」判定，不由 $k$ 的量级判定。$1.6 \times 10^{16}$ 与真正的竖直线在图上无法区分，但在后续计算里会一路带着这个巨大的数，最终把交点坐标推到无意义的量级。

5 · 参考文献

1. Slope. Wikipedia. 斜率的定义、两点公式与倾斜角的关系。https://en.wikipedia.org/wiki/Slope
2. Angle of inclination. Encyclopedia of Mathematics. 倾斜角的取值约定。https://encyclopediaofmath.org/wiki/Angle
3. IEEE 754. Wikipedia. 双精度的表示范围，以及 $\frac{\pi}{2}$ 无法精确表示的后果。https://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754