点斜式 → 一般式

直线方程的五种形式

同一条直线可以有多种方程写法。前四种各自要求某个量存在，一般式则对全体直线成立。选择哪一种取决于题目给出什么条件，而检查答案时通常化为一般式再比较。

1 · 点斜式与斜截式

已知一点 $P_0(x_0, y_0)$ 与斜率 $k$ ：

y - y_0 = k(x - x_0)

已知斜率 $k$ 与纵截距 $b$ （即过点 $(0, b)$ ）： $y = kx + b$ 。斜截式是点斜式取 $x_0 = 0$ 的特例。

两式都要求斜率存在，故都写不出竖直线。「过点 $(2, 3)$ 且与某圆相切的直线」这类题目里，若不先讨论竖直的情形，答案就会漏掉 $x = 2$ 这一条。

2 · 两点式与截距式

已知两点 $P_1(x_1, y_1)$ 、 $P_2(x_2, y_2)$ ，且 $x_1 \ne x_2$ 、 $y_1 \ne y_2$ ：

\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}

两个分母都不能为零，故两点式既写不出竖直线也写不出水平线。把它去分母整理成 $(y_2 - y_1)(x - x_1) - (x_2 - x_1)(y - y_1) = 0$ 之后限制就消失了——这正是一般式。

已知横截距 $a$ 与纵截距 $b$ （直线交两轴于 $(a, 0)$ 与 $(0, b)$ ）： $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 。截距式的限制最紧： $a$ 与 $b$ 都不能为零，因此过原点的直线没有截距式，两条坐标轴本身也没有。

图 2-1 · 五种写法轮换。可切换写法并拖动它的参数，图上是同一条直线，方程牌给出当前写法与化成的一般式；写法失效时牌上标出原因。

3 · 一般式

Ax + By + C = 0 \quad (A, B \text{ 不同时为零})

平面上任意直线都能写成这个形式，反之任意这样的方程都表示一条直线。三个系数各自的含义： $B \ne 0$ 时斜率是 $-\frac{A}{B}$ ，纵截距是 $-\frac{C}{B}$ ； $B = 0$ 即竖直线 $x = -\frac{C}{A}$ 。

代价是系数不唯一： $3x + 4y - 10 = 0$ 与 $6x + 8y - 20 = 0$ 是同一条直线，全体系数同乘一个非零数即得另一组。判断两个一般式是否表示同一条直线，不能逐个比系数，要先归一化（见平行、垂直与距离 §4）。

4 · 实现里为什么只留一般式

core/geom.ts 内部一律以 $(A, B, C)$ 三元组存直线，四种写法都只是构造函数。这个选择不是审美：斜截式写不出竖直线，而「斜率不存在」这一支若渗进每个函数，平行判定、垂直判定、交点、距离全都要各带一套分情形。改用一般式之后，平行是 $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$ 、垂直是 $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ ，两个表达式都不含分母，也不含例外。

例 4.1 求过 $(1, 2)$ 与 $(1, 5)$ 的直线。两点横坐标相同，两点式的分母 $x_2 - x_1 = 0$ ，点斜式与斜截式也都无从下手。一般式直接给出： $A = y_2 - y_1 = 3$ 、 $B = x_1 - x_2 = 0$ 、 $C = -(3 \cdot 1) = -3$ ，即 $3x - 3 = 0$ ，也就是 $x = 1$ 。

$A$ 、 $B$ 的这两个取法就是 lineFromTwoPoints 的实现： $A = y_2 - y_1$ 、 $B = x_1 - x_2$ 、 $C = -(Ax_1 + By_1)$ 。它对任意两个不重合的点都给出正确结果，重合时 $A$ 与 $B$ 同时为零，函数返回 null——「两点重合确定不了唯一直线」这件事因此在类型上就得表达，而不是靠调用方记得检查。

5 · 参考文献

Linear equation. Wikipedia. 直线方程的各种形式及其相互转换。https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_equation
Intercept. Wikipedia. 截距的定义与截距式的适用条件。https://en.wikipedia.org/wiki/Y-intercept