v = √(GM/r)

人造卫星与宇宙速度

上一页把万有引力定律落回静止的地表；本页换一个场景，物体不再贴着地面，而是绕地球做匀速圆周运动。这种情形下万有引力不需要额外的支持力分担，它本身就足以充当维持圆周运动所需的向心力，这条等式解出的轨道速度、周期，直接给出第一宇宙速度与地球同步轨道半径这两个具体数字。

1 · 轨道速度：引力充当向心力

质量为 $m$ 的卫星在半径 $r$ 的圆轨道上匀速绕行，需要的向心力 $mv^2/r$ 全部由万有引力提供：

\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{GM}{r}}

两边约去卫星质量 $m$ 后，轨道速度只由地球质量 $M$ 与轨道半径 $r$ 决定，与卫星本身多重无关。式子里 $r$ 在分母的根号下：轨道半径越大，速度反而越小。这与「离得越远应该追得越快」的直觉正好相反，根源是向心力本身随 $r$ 增大按 $1/r^2$ 衰减，衰减的力撑不住原来那么快的速度还要求一条更大的圆。

图 1-1 · 轨道速度 v(r) 随半径的变化。可调轨道半径 r（以地球半径为单位）观察速度下降，r=R 处标出的是第一宇宙速度。

2 · 第一宇宙速度与地球同步轨道

若把 $r$ 取到最小，也就是贴着地面飞行、忽略大气阻力这一理想情形，上式给出的速度就是第一宇宙速度（first cosmic velocity），即维持近地圆轨道所需的最小发射速度：

v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR} \approx 7.9 \text{ km/s}

第二个等号用到了上一页推出的 $g=GM/R^2$ 。低于这个速度，重力提供的向心力比圆轨道所需的还多，物体会一路下坠，落回地面；正好等于这个速度，物体绕地球转一圈又回到原处，这才是「卫星」这个词描述的运动。

同一条速度公式还能反过来解「一天绕一圈」的轨道半径，即地球同步轨道（geostationary orbit）：轨道周期 $T=2\pi r/v$ 与 $v=\sqrt{GM/r}$ 联立，消去 $v$ 得 $T^2=4\pi^2 r^3/(GM)$ ，解出

r = \sqrt[3]{\frac{GM\,T^2}{4\pi^2}}

式中的 $T$ 该取哪个「一天」，是一处容易被略过的细节：地球相对太阳自转一圈（太阳日）是 $24$ 小时，但相对遥远恒星自转一圈（恒星日）只有 $23$ 时 $56$ 分 $4$ 秒，短了约 $3$ 分 $56$ 秒。同步卫星要「始终停在地面某一点正上方」，对齐的是地球自身的自转，该用的是恒星日。把两个 $T$ 分别代进上式：恒星日算出 $r\approx4.216\times10^7$ m（约 $42158$ km），太阳日算出 $r\approx4.224\times10^7$ m（约 $42235$ km），差了约 $77$ km，占半径本身的比例不到 $0.2\%$ 。多数中学题目直接写「一天 $24$ 小时」代入，算出的半径圆到前两位有效数字与严格值仍然相同——这处差异在中学精度下通常无需计入，但严格地说，只要要求算到三位以上有效数字，就该换成恒星日。

图 2-1 · 轨道周期 T(r) 随半径的变化。可调轨道半径 r 观察周期增长，标出第一宇宙速度对应的最低轨道与地球同步轨道半径。

注 · 这条推导只给出「维持圆轨道」所需的速度下限，没有涉及「彻底摆脱地球引力飞向深空」需要多快——那是第二宇宙速度（逃逸速度）的问题，要用能量关系而不是本节的力平衡来解，超出本页范围。

警示 · 地球同步轨道解出的只是半径，轨道平面还必须与地球自转轴垂直、即位于赤道正上方——圆轨道的圆心必须是地球中心，一条倾斜于赤道的圆轨道即便周期也凑成一天，星下点仍会在南北方向来回摆动，无法停在地面某一固定点正上方。

3 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 13. Wiley.
Vallado, D. A. (2013). Fundamentals of Astrodynamics and Applications (4th ed.), Chapter 1. Microcosm Press.