物理 / 力学 · 从描述运动到万有引力 / 万有引力定律与地表重力 待审核 20 / 21
F = GMm/r²

万有引力定律与地表重力

牛顿在《自然哲学的数学原理》（1687）里给出的万有引力定律（law of universal gravitation）说的是一件很朴素的事：宇宙里任意两个有质量的物体之间，都存在一个相互的吸引力，大小与两者质量之积成正比、与距离的平方成反比，方向沿两者连线。这条定律不区分「天上」与「地上」，苹果落地与月球绕地转用的是同一个公式，区别只在于代入的质量与距离不同。

1 · 平方反比与地表重力

两个质量分别为 MM、mm 的物体，中心间距为 rr 时，相互的引力大小

F=GMmr2F = \frac{GMm}{r^2}

其中 GG 是万有引力常量，一个与两个物体本身无关的比例系数，约为 6.674×10−116.674\times10^{-11} N·m²/kg²。这个力遵从牛顿第三定律：地球拉苹果多大，苹果拉地球也多大，只是地球质量极大，加速度效果小到无法察觉。

站在地表的物体，到地心的距离近似等于地球半径 RR（比起 R≈6.371×106R\approx6.371\times10^6 m，人的身高或一栋楼的高度可以忽略）。物体所受重力 mgmg 正是这个 r≈Rr\approx R 时的万有引力，两者相等：

mg=GMmR2⟹g=GMR2mg = \frac{GMm}{R^2} \quad\Longrightarrow\quad g = \frac{GM}{R^2}

约去质量 mm 后，重力加速度 gg 只由地球自身的 MM、RR 决定，与站在地表的是谁无关——这也是「不同质量的物体自由落体加速度相同」这一事实的力学根源。把 G≈6.674×10−11G\approx6.674\times10^{-11}、地球质量 M≈5.97×1024M\approx5.97\times10^{24} kg、R≈6.371×106R\approx6.371\times10^6 m 直接代进去，算得的 g≈9.82g\approx9.82 m/s²，比中学课本常写的 9.89.8 大了约 0.020.02。三个常量各自都只保留四位有效数字，相乘相除时舍入误差会叠加，国际定义的标准重力加速度取值是 9.806659.80665 m/s²，与代入后的 9.829.82 也对不上第三位有效数字；这不是哪个常量抄错了，只是「用几个独立测量值算出的量」天然带着比每个输入量更大的误差。

场强随距离增大按 1/r21/r^2 衰减：飞到 2R2R 高的轨道处，引力加速度降到地表的四分之一；飞到 3R3R 处降到九分之一。

图 1-1 · 引力加速度 g(r) 随距离的衰减。可调 r（以地球半径为单位）观察 1/r² 曲线，r=R 处的读数与地表 g 核对。

警示 · 弹簧测力计或体重计称出的重力，比 GM/R2GM/R^2 算出的引力加速度还要小一点——地球自转带来向心加速度，需要引力分担一部分去提供向心力，剩下的才是「视重」对应的加速度，赤道处这个差额最大、两极处为零。本页后续计算均忽略这一项，按静止地球处理。

2 · 从 g 反推地球质量：卡文迪什的贡献

g=GM/R2g=GM/R^2 这个式子里，gg 和 RR 在牛顿的年代都能测：gg 由落体实验测出，RR 由埃拉托斯特尼式的测地方法早就估算过。缺的是 GG——只知道式子的形状，不知道这个比例系数具体多大，MM 便无法从这个式子单独解出来。牛顿本人从未算出地球质量的数值。

这个缺口在一百多年后由亨利·卡文迪什补上。他用一台扭秤，测出两个已知质量的铅球之间那格外微弱的引力，从而在实验室里直接测出了 GG 的数值（1798 年，实验细节见页末参考文献）。有了 GG，再代入已经测好的 gg 与 RR，地球质量 M=gR2/GM=gR^2/G 便是一次算术：这也是这个实验常被通俗地称作「称量地球」的原因，尽管卡文迪什本人论文的标题是测定地球的密度。

gg 由 MM 与 RR 共同决定，二者谁更大并不能单独判断表面重力谁强。火星质量只有地球的约 0.1070.107 倍，但它的半径也只有地球的约 0.530.53 倍，半径变小让分母 R2R^2 缩得更快，两者相除后火星表面重力加速度反而达到地球的约 0.380.38 倍（约 3.713.71 m/s²），比单看质量比例算出的直觉数字大得多。月球质量仅为地球的约 0.01230.0123 倍、半径约 0.2730.273 倍，表面重力约为地球的 0.1650.165 倍（约 1.621.62 m/s²）。

图 2-1 · 换一颗星球算表面重力。可调质量倍数与半径倍数（均相对地球），对照月球、火星的真实表面重力加速度。

3 · 参考文献

  1. Cavendish, H. (1798). Experiments to determine the density of the Earth. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 88, 469–526.
  2. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 13. Wiley.