x-t / v-t 图

位置、速度与匀变速直线运动

沿一条直线运动，位置可以取正负——约定一个方向为正，反方向为负，这条直线上的每一点就有唯一一个坐标 $x$ 。本页只处理这一种运动：先分清位移与路程，再从 $x$ - $t$ 图读出速度，最后专门处理加速度不随时间变化的情形，即匀变速直线运动（uniformly accelerated linear motion）。

1 · 位移与路程

位移（displacement）是末位置减初位置， $\Delta x = x_2 - x_1$ ，方向由正负号给出。路程（distance travelled）是运动轨迹的长度，只增不减。两者在往返运动中分道：从家（记 $x=0$ ）出发向东走 $50$ m 到教学楼，再向西走 $30$ m 到食堂，位移是 $+50 - 30 = 20$ m（东），路程是 $50 + 30 = 80$ m。只有运动方向不变时，位移的绝对值才等于路程。

2 · 速度：位置对时间的变化率

把 $x$ 对 $t$ 画成曲线，任取两个时刻 $t_1$ 、 $t_1+\Delta t$ ，连接对应两点的割线，其斜率

\bar v = \frac{x(t_1+\Delta t)-x(t_1)}{\Delta t}

就是这段时间内的平均速度。 $\Delta t$ 越小，割线越贴近曲线在 $t_1$ 处的切线，斜率的极限

v(t_1) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t_1+\Delta t)-x(t_1)}{\Delta t}

称为 $t_1$ 时刻的瞬时速度，也是位置函数在 $t_1$ 处的导数。下方取的仍是本页的匀变速场景（位置函数 $x(t)=v_0 t+\tfrac12 a t^2$ ），瞬时速度公式 $v(t)=v_0+at$ 正是它对 $t$ 求导的结果——下一节的三个公式全部由此展开。

图 2-1 · 割线收缩成切线。可调

v_0

、

a

与参考时刻

t_1

，拖动区间宽度

\Delta t

观察割线斜率（平均速度）向切线斜率（瞬时速度）逼近。

3 · 匀变速直线运动的三个公式

加速度为常数时， $v(t)=v_0+at$ 在 $v$ - $t$ 图上是一条直线。直线下、从 $0$ 到 $t$ 之间的面积是一个梯形，上底 $v_0$ 、下底 $v_0+at$ 、高 $t$ ，面积

x - x_0 = \frac{1}{2}\big(v_0 + (v_0+at)\big)\,t = v_0 t + \frac{1}{2}at^2

恰好就是这段时间的位移——v-t 图下的面积等于位移，这条几何事实此后反复用到。从这两个式子消去 $t$ ，再补上一个不显含 $t$ 的关系：

v = v_0 + at, \qquad x - x_0 = v_0 t + \frac{1}{2}at^2, \qquad v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0)

三个公式互相等价，只是各消去了一个量，解题时按题目给出的量挑一个免得多算一步。

图 3-1 · v-t 图下的面积与 x-t 图。可调

v_0

、

a

与时刻

t

，上方轨道显示物体此刻的位置，v-t 图的阴影面积与 x-t 图算出的位移逐位对齐。

警示 · 面积公式只在 $v(t)$ 不变号的那一段直接对应位移；若 $v$ 在区间内变号（先正后负），阴影面积的正负部分分别是两段的位移，位移总量要按正负号相加，而不是把面积当路程直接相加。

4 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 2. Wiley.