物理 / 力学 · 从描述运动到万有引力 / 自由落体与竖直上抛 待审核 2 / 21
a = -g 的特例

自由落体与竖直上抛

自由落体（free fall）与竖直上抛（vertical projectile motion）都不是新的运动类型，只是上一页三个公式在 a=−ga=-g 这个特定加速度下的特例——把 v0v_0、aa 代进同一套公式，剩下的都是算术。

1 · 自由落体：a = g 的特例

只受重力、初速度为零的下落，加速度恒为重力加速度 gg。地球表面 gg 的公认值约为 9.89.8 m/s²，随纬度与海拔有千分之几的波动；中学题目里常简化取 g=10g=10 m/s² 图省事，本页统一用 9.89.8。自由落体是一个理想化模型：现实中的下落还受空气阻力，阻力大小与形状、速度有关，越轻越蓬松的物体（羽毛、纸片）偏离这一模型越明显——真空管里同时释放的羽毛与铅球才会同时落地，这也是伽利略那个比萨斜塔传说背后真正被现代实验验证的部分[1]。

利用 d=12gt2d=\tfrac12 gt^2 可以反过来测一个通常很难直接计时的量：人的反应时间。下方的下落标记在随机延迟后开始运动，抓住的时刻由下落距离反解出经过的时间。

图 1-1 · 自由落体测反应时间。点「开始」后随机延迟释放，看见标记开始下落立即点击「抓住」，下落距离按 d = ½gt² 反解出反应时间。

注 · 这个实验的常见实体版本是让人捏住一根竖直悬挂的直尺，无预警松手后另一人尽快捏住，从下落的厘米数换算反应时间；原理与本页的模拟完全一致，换成了用手机屏幕代替直尺与秒表。

2 · 竖直上抛运动的对称性

竖直上抛只是把初速度换成竖直向上的一个正值 v0v_0，加速度仍是 −g-g（取向上为正）。代入上一页的公式，上升到最高点所需时间

t1=v0gt_1 = \frac{v_0}{g}

由 v(t1)=v0−gt1=0v(t_1)=v_0-gt_1=0 解出；最高点高度 h=v022gh=\dfrac{v_0^2}{2g} 由 v2=v02−2ghv^2=v_0^2-2gh 令 v=0v=0 得到。从最高点自由落回原高度是一次初速度为零的自由落体，用时同样是 t1t_1——上升与下降用时相等，全程飞行时间 T=2t1=2v0gT=2t_1=\dfrac{2v_0}{g}。落地时刻的速度 v(T)=v0−gT=−v0v(T)=v_0-gT=-v_0，大小与抛出速度相等、方向相反。

图 2-1 · 竖直上抛的 x-t 曲线。可调抛出速度 v₀ 与当前时刻，数值栏对拍上升/下降用时与抛出/落地速度。

三条对称性——上升与下降用时相等、上升与下降路程相等、抛出速度与落地速度大小相等——都要求全程加速度恒为 −g-g，即忽略空气阻力。真实抛出的乒乓球或羽毛球在空气阻力下降段会比上升段更平缓，实测的上升与下降用时并不相等；本页图上的对称曲线是理想化模型的图像，不是任意抛体的实拍轨迹。

警示 · 「上升与下降用时相等」只在不计空气阻力时成立。它是这个理想化模型的推论，不是竖直运动的普遍规律——遇到题目额外说明空气阻力不可忽略时，这条对称性不再适用。

3 · 参考文献

  1. Cadelano, G., et al. (2015). Recreating the Galileo Leaning Tower of Pisa experiment with modern instrumentation. Physics Education, 50(6), 641–647.