conditional · 全概率 · Bayes

条件概率、全概率与贝叶斯公式

「已经知道 B 发生了，A 还有多大可能」——这就是条件概率(conditional probability) $P(A \mid B)$ 。它的几何直觉是样本空间收缩：一旦确定落在 B 里，B 之外的结果全部出局，新的「全部」变成 B，A 只保留与 B 交叠的那部分。由 $P(A \mid B) = P(A\cap B) / P(B)$ （下同，均设 $P(B) > 0$ ）出发，把一个复杂事件按若干互斥前提拆开求和，得到全概率公式；再把条件反过来、从结果倒推前提，得到贝叶斯公式(Bayes' theorem)。

1 · 样本空间的收缩

P(A \mid B) = P(A\cap B) / P(B)

仍用掷两枚可区分骰子的 $6 \times 6$ 格阵作样本空间。选定条件 $B$ 后，不属于 $B$ 的格子被排除出新的样本空间；属于 $B$ 的格子里，同时属于 $A$ 的那部分即 $A \cap B$ 。此时 $P(A \mid B)$ 不再除以 36，而是在收缩后的 $B$ 里数比例： $|A\cap B|$ 除以 $|B|$ 。

图 1-1 · 条件

B

选定后样本空间的收缩。可切换

A

与

B

，对照条件概率与无条件概率

P(A)

的差异；不属于

B

的格子淡出，

A\cap B

高亮。

注 · 当 $P(A \mid B)$ 与 $P(A)$ 相等，说明「 $B$ 是否发生」丝毫不改变 $A$ 的概率，此时称 $A$ 与 $B$ 相互独立（independent）。注意等价关系只在 $P(B) > 0$ 时成立：独立性的定义式是 $P(A\cap B) = P(A)\,P(B)$ ， $P(B) = 0$ 时 $P(A \mid B)$ 无定义而独立性仍然成立。若两者不等，则 $B$ 携带了关于 $A$ 的信息——大于 $P(A)$ 时 $B$ 让 $A$ 更可能发生，小于时则相反。

2 · 全概率公式与贝叶斯公式

P(A) = \sum_i P(B_i) P(A \mid B_i)

两条流水线 $B_1$ 、 $B_2$ 生产同一零件： $B_1$ 占产量的比例 $w$ 、 $B_2$ 占 $1-w$ ，各自的次品率为 $r_1$ 与 $r_2$ 。记 $A$ 为抽到一件次品。整个抽件过程展开成一棵概率树：根先按产线分成两支（边权 $P(B_1) = w$ 、 $P(B_2) = 1-w$ ），每支再分出次品与合格（边权 $r_i$ 与 $1-r_i$ ）。一条从根到叶的路径概率等于沿途边权之乘积。

图 2-1 · 两条产线的概率树与全概率、贝叶斯两步推导。可拖动产量占比与两条产线的次品率，观察

P(A)

与后验

P(B_i \mid A)

随之变化。

注 · 这一步里藏着基础比率（base rate）效应：某条产线次品率高，但若它的产量占比很小，抽到的次品仍未必主要来自它。后验 $P(B_i \mid A)$ 是次品率与产量占比两者的合成，只看次品率会误判来源。默认参数下 $B_2$ 的次品率是 $B_1$ 的三倍、只占三成产量，却贡献了 56.25% 的次品。同样的机制在医学检测里表现为「高准确率的检测仍可能大量误报」，进一步的方阵与 base-rate 视角见条件概率 / 贝叶斯（方阵与 base-rate）。

3 · 参考文献

Conditional probability. Wikipedia. 条件概率的定义与样本空间收缩的读法。https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_probability
Law of total probability. Wikipedia. 全概率公式与它对划分的要求。https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_probability
Bayes theorem. Wikipedia. 贝叶斯公式、先验与后验。https://en.wikipedia.org/wiki/Bayes%27_theorem
Base rate fallacy. Wikipedia. 基础比率效应及医学检测里的表现。https://en.wikipedia.org/wiki/Base_rate_fallacy