条件概率、全概率与贝叶斯公式

「已经知道 B 发生了，A 还有多大可能」——这就是条件概率(conditional probability) P(A|B)。它的几何直觉是样本空间收缩：一旦确定落在 B 里，B 之外的结果全部出局，新的「全部」变成 B，A 只保留与 B 交叠的那部分。由 $P(A|B) = P(A\cap B) / P(B)$ 出发，把一个复杂事件按若干互斥前提拆开求和，得到全概率公式；再把条件反过来、从结果倒推前提，得到贝叶斯公式(Bayes' theorem)。

1 · 条件概率：样本空间收缩到 B

仍用掷两枚可区分骰子的 ${6 \times 6}$ 格阵作样本空间。选定条件 B 后，不属于 B 的格子被淡出——它们已被排除出新的样本空间；属于 B 的格子常显，其中同时属于 A 的（即 $A\cap B$）被高亮。此时 P(A|B) 不再除以 36，而是在收缩后的 B 里数比例：有利格数 $|A\cap B|$ 除以 B 的格数 |B|。切换 A 与 B，观察条件概率与无条件概率 P(A) 的差异。

2 · 全概率公式与贝叶斯公式

两条流水线 B₁、B₂ 生产同一零件：B₁ 占产量的比例 w、B₂ 占 ${1-w}$，各自的次品率为 $r_1$ 与 $r_2$。记 A = 抽到一件次品。整个抽件过程展开成一棵概率树：根先按产线分成两支（边权 $P(B_1)=w$、$P(B_2)=1-w$），每支再分出「次品 A / 合格 Ā」（边权 $r_i$ 与 ${1-r_i}$）。一条从根到叶的路径概率等于沿途边权之乘积。拖动滑块，观察全概率与贝叶斯两步推导的数值随之变化。