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random variable · 分布列 · E[X] · D[X]

离散型随机变量：分布列、期望与方差

前面把随机事件看成样本空间 Ω\Omega 的子集。更进一步，可以给每个样本点直接赋一个数值——这个由样本点到实数的映射就是随机变量(random variable)。数值化之后，事件的概率被整理成分布列，还能进一步压缩成两个数字特征：刻画中心位置的期望 E[X]E[X]，与刻画分散程度的方差 D[X]D[X]。以掷两枚骰子为例，切换不同的随机变量，观察它的分布、重心与离散度。

1 · 随机变量与分布列

distribution table · P(X=k)P(X{=}k) = 频数 / 36

随机变量 XX 是定义在样本空间 Ω\Omega 上的一个函数：它把每个样本点 (i,j)(i, j) 映射成一个实数。掷两枚可区分的骰子有 3636 个等可能的样本点，选定一种映射后，落到同一数值 kk 的样本点个数就是该取值的频数，除以 3636 即得概率 P(X=k)P(X = k) = 频数 / 3636。把 XX 的所有取值与对应概率列成一张表，就是 XX 的分布列(distribution table)。

图 1-1 · 掷两枚骰子在不同映射下的分布列与柱状图。可切换随机变量，观察取值范围与柱形轮廓随之改变。

注 · 分布列完整描述了离散型随机变量 XX：它列出所有可能取值及各自概率，必然满足非负性 P(X=k)≥0P(X = k) \ge 0 与规范性 ∑kP(X=k)=1\sum_k P(X = k) = 1。柱状图是它的等价图示，每根柱的高度正比于该取值的概率。三种映射的轮廓各不相同：和呈对称三角，较大者单调上升，而点数差 ∣i−j∣|i - j| 的峰在 1 处（10/36），0 处因为只有六个对子反而只有 6/36，此后才逐级递减。

2 · 期望与方差

E[X]=∑k P(X=k)E[X] = \sum k\,P(X{=}k) · D[X]=∑(k−E[X])2 P(X=k)D[X] = \sum (k-E[X])^2\,P(X{=}k)

沿用 §1 所选的随机变量 XX。期望 E[X]=∑kk P(X=k)E[X] = \sum_k k\, P(X = k) 是各取值以概率为权的加权平均，几何上正是分布的重心：把每根柱想成压在数轴上、质量等于其概率的砝码，天平恰好在 E[X]E[X] 处平衡。方差 D[X]=∑k(k−E[X])2 P(X=k)D[X] = \sum_k (k - E[X])^2\, P(X = k) 是取值到重心距离平方的加权平均，度量分布的分散程度；开方得标准差 σ=D[X]\sigma = \sqrt{D[X]}。

图 2-1 · 同一分布上叠出的重心竖线与支点。可切换随机变量，观察期望、方差与标准差随分布形状变化。

注 · 期望是随机变量在长期大量重复下取值的平均，而非某一次试验的结果：掷两枚骰子一次得到 7 的概率也不过 1/61/6（这已是全部 11 个取值里最大的一个），五次里有四次不是 7；但重复足够多次后，逐次结果的平均会稳定在 7 附近。标准差 σ\sigma 与 XX 同量纲，直接刻画取值围绕重心的分散程度。对于取样模型下有闭式期望与方差的分布，可见 二项分布与超几何分布。

3 · 参考文献

  1. Random variable. Wikipedia. 随机变量作为样本空间上的函数。https://en.wikipedia.org/wiki/Random_variable
  2. Probability mass function. Wikipedia. 离散分布列的非负性与规范性。https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_mass_function
  3. Expected value. Wikipedia. 期望的定义、可加性与重心解读。https://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value
  4. Variance. Wikipedia. 方差与标准差的定义及量纲。https://en.wikipedia.org/wiki/Variance