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random variable · 分布列 · E[X] · D[X]

离散型随机变量：分布列、期望与方差

前面把随机事件看成样本空间 Ω\Omega 的子集。更进一步，可以给每个样本点直接赋一个数值——这个由样本点到实数的映射就是随机变量(random variable)。数值化之后，事件的概率被整理成分布列，还能进一步压缩成两个数字特征：刻画中心位置的期望 E[X]E[X]，与刻画分散程度的方差 D[X]D[X]。以掷两枚骰子为例，切换不同的随机变量，观察它的分布、重心与离散度。

1 · 随机变量与分布列

distribution table · P(X = k) = 频数 / 36 · ΣP = 1

随机变量 X 是定义在样本空间 Ω\Omega 上的一个函数：它把每个样本点 (i, j) 映射成一个实数。掷两枚可区分的骰子有 36 个等可能的样本点，选定一种映射后，落到同一数值 k 的样本点个数就是该取值的频数，除以 36 即得概率 P(X = k) = 频数 / 36。把 X 的所有取值与对应概率列成一张表，就是 X 的分布列(distribution table)。

分布列完整描述了离散型随机变量 X：它列出 X 的所有可能取值及各自概率，必然满足非负性 P(X=k)≥0P(X = k) \ge 0 与规范性 ΣP(X = k) = 1。柱状图是分布列的等价图示——每根柱的高度正比于该取值的概率。切换 X，注意取值范围与柱形轮廓随之改变：和 sum 呈对称三角，较大者 max 单调上升，点数差 ∣i−j∣|i - j| 则从 0 处最高、逐级递减。

2 · 期望与方差

E[X]=∑k P(X=k)E[X] = \sum k\,P(X{=}k) · D[X]=∑(k−E[X])2 P(X=k)D[X] = \sum (k-E[X])^2\,P(X{=}k)

沿用上一节所选的随机变量 X。期望 E[X]=Σk⋅P(X=k)E[X] = Σ k\cdot P(X = k) 是各取值以概率为权的加权平均，几何上正是分布的重心——把每根柱想成压在数轴上、质量等于其概率的砝码，天平恰好在 E[X]E[X] 处平衡。方差 D[X]=Σ(k−E[X])2⋅P(X=k)D[X] = Σ(k - E[X])^2\cdot P(X = k) 是取值到重心距离平方的加权平均，度量分布的分散程度；开方得标准差 σ=D[X]\sigma = \sqrt D[X]。下图在同一分布上叠出重心竖线与支点。

期望 E[X]E[X] 是随机变量在长期大量重复下取值的平均，而非某一次试验的结果——掷两枚骰子一次几乎不会正好得到和为 7，但重复足够多次后，逐次结果的平均会稳定在 7 附近。标准差 σ\sigma 与 X 同量纲，直接刻画取值围绕重心的分散程度：σ\sigma 越大，分布铺得越开。对于取样模型下有闭式期望与方差的分布，可见 二项分布与超几何分布。