频率与概率：用数据估计可能性

概率是一个理论值：掷一枚均匀硬币，正面概率是 0.5。但现实里的硬币未必均匀，我们往往不知道真实概率是多少，只能靠反复试验去估计它。把一次试验重复 n 次，频率(frequency) 就是「发生次数 / n」这个实测比例。随着 n 增大，频率会围绕真实概率上下波动、幅度逐渐收窄并稳定下来——这就是大数律(law of large numbers) 的直观内容，也是用频率估计概率的依据。

1 · 模拟投掷：频率如何收敛到概率

设定一枚硬币的正面概率 p，然后成批投掷。每投一次，正面数按 p 随机累加，累计频率 hits / n 被记到曲线上（横轴是投掷次数 n，取对数刻度，好让 10 / 100 / 1000 / 10000 大致等距）。开局曲线剧烈起伏，几十次里连出正面就能把频率顶到很高；但投掷次数越大，频率越贴着绿色的目标线 p 走，偏差 $|frequency - p|$ 稳步缩小。