事件的关系与运算、相互独立性

事件是样本空间 $\Omega$ 的子集，于是集合之间的关系与运算可以原样搬到事件上：$A\cup B$（并，两者至少一个发生）、$A\cap B$（交，两者同时发生）、$A-B$（差，A 发生而 B 不发生）、Ā（对立，A 不发生）。两个特殊关系值得单列：互斥指 $A\cap B = \emptyset$，二者不可能同时发生；对立更强，要求互斥之外还铺满整个样本空间 $A\cup B = \Omega$。而相互独立是另一回事——它谈的不是集合形状，而是概率是否满足 $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$。仍用两枚可区分骰子的 ${6 \times 6 = 36}$ 格样本空间来观察这些概念。

1 · 事件的关系与运算

任选事件 A 与 B，格阵按归属着色：仅属 A、仅属 B、同属两者各用一种底色；再选一种运算，其结果集被高亮。因 36 个样本点等可能，任一事件的概率都是它占的格数除以 36。观察四个概率之间的容斥关系 $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$：并集不能把交集重复计两次，故要减去一份 $P(A\cap B)$。

2 · 相互独立性

独立性刻画「一个事件是否发生，不改变另一个发生的概率」。判据是乘法式 $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$：相等则相互独立，不等则不独立。这与集合形状无关，只看概率是否恰好相乘。下面预置了两对独立事件（第一枚为偶数 × 第二枚为偶数、第一枚是 6 × 和为 7）与一对互斥却不独立的事件（和 ≤ 4 × 和 ≥ 10），切换观察 $P(A\cap B)$ 与 $P(A)\cdot P(B)$ 是否吻合。