event algebra · 互斥 vs 相互独立

事件的关系与运算、相互独立性

事件是样本空间 $\Omega$ 的子集，于是集合之间的关系与运算可以原样搬到事件上： $A\cup B$ （并，两者至少一个发生）、 $A\cap B$ （交，两者同时发生）、 $A-B$ （差，A 发生而 B 不发生）、 $\bar A$ （对立，A 不发生）。两个特殊关系值得单列：互斥指 $A\cap B = \emptyset$ ，二者不可能同时发生；对立更强，要求互斥之外还铺满整个样本空间 $A\cup B = \Omega$ 。而相互独立是另一回事——它谈的不是集合形状，而是概率是否满足 $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$ 。仍用两枚可区分骰子的 $6 \times 6 = 36$ 格样本空间来观察这些概念。

1 · 事件的关系与运算

A ∪ B · A ∩ B · A − B · Ā

格阵按归属着色：仅属 $A$ 、仅属 $B$ 、同属两者各用一种底色，选定运算后其结果集被高亮。因 36 个样本点等可能，任一事件的概率都是它占的格数除以 36。四个概率之间满足容斥关系 $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ ：并集不能把交集重复计两次，故要减去一份 $P(A\cap B)$ 。

图 1-1 · 两个事件的归属着色与四种运算的结果集。可任选事件

A

与

B

并切换运算，逐项核对容斥关系。

注 · 互斥与对立不是一回事：互斥只要求 $A\cap B = \emptyset$ ，两个事件之外还可以有别的结果（例如「和为 7」与「和为 8」互斥，但并集远不是 $\Omega$ ）；对立在互斥之上还要 $A\cup B = \Omega$ ，此时 $B = \bar A$ ，二者恰好把样本空间一分为二，从而 $P(A) + P(B) = 1$ 。

2 · 相互独立性

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

独立性刻画「一个事件是否发生，不改变另一个发生的概率」。判据是乘法式 $P(A\cap B) = P(A)\, P(B)$ ：相等则相互独立，不等则不独立。这与集合形状无关，只看概率是否恰好相乘。

图 2-1 · 两个事件的

P(A\cap B)

与

P(A)P(B)

是否吻合。可任选两个事件；默认给出的一对是「第一枚为偶数」与「第二枚为偶数」，另可选出「和不超过 4」与「和不小于 10」这对互斥却不独立的事件。

警示 · 互斥与独立是两回事，且方向相反。若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $A\cap B = \emptyset$ 、 $P(A\cap B) = 0$ ；只要 $P(A) > 0$ 且 $P(B) > 0$ ，就有 $P(A)\,P(B) > 0 \ne 0 = P(A\cap B)$ ，故两个概率非零的互斥事件必不独立。直觉上也是如此：已知 $A$ 发生， $B$ 便绝不可能发生，这是一种极强的相互影响，而非无关。事件与样本空间的基本约定见随机事件、样本空间与古典概型。

3 · 参考文献

Probability axioms. Wikipedia. 概率的三条公理与容斥关系的来源。https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_axioms
Independence (probability theory). Wikipedia. 相互独立的定义，以及它同互斥的区别。https://en.wikipedia.org/wiki/Independence_(probability_theory)
Mutual exclusivity. Wikipedia. 互斥与对立事件。https://en.wikipedia.org/wiki/Mutual_exclusivity