\theta

或

180° - \theta

· 定向

二面角与法向量的朝向

线面角只在 $0°$ 到 $90°$ 之间，公式里那个绝对值把法向量的朝向问题一笔带过。二面角没有这个便利：它的取值跨过 $90°$ ，钝角与锐角是两个不同的答案，而两个法向量的夹角单靠自己分不出该报哪一个。这一页处理的就是那个符号。

1 · 二面角的平面角

定义 1.1（二面角） 一条直线 $l$ 与由它出发的两个半平面 $\alpha$ 、 $\beta$ 组成的图形称二面角，记作 $\alpha$ - $l$ - $\beta$ ， $l$ 称棱。在棱上任取一点 $O$ ，在两个半平面内各作垂直于 $l$ 的射线 $OA$ 、 $OB$ ， $\angle AOB$ 称该二面角的平面角，其大小即二面角的大小，取值范围是 $0°$ 到 $180°$ 。

「在棱上任取一点」这句话里藏着一条要验的性质：换一个点，两条垂线的方向不变，故角不变。向量法把这句话写成一行代码——把「 $O$ 指向半平面内给定点」的向量减去它沿棱的分量，剩下的就是那条垂线的方向，而减掉的量恰是取点位置的全部影响。

半平面这个词同样要紧：二面角是两个半平面的夹角，不是两张完整平面的夹角。两张完整平面相交得到的是四个二面角，两两相等、两两互补。所以「面面角」与「二面角」不是同义词，前者按惯例取那个锐角或直角。

2 · 法向量的夹角是哪一个

设 $\alpha$ 、 $\beta$ 所在平面的法向量为 $n_1$ 、 $n_2$ ，二面角大小为 $\theta$ 。则

\lvert\cos\theta\rvert = \frac{\lvert n_1 \cdot n_2 \rvert}{\lvert n_1 \rvert \lvert n_2 \rvert}

只有绝对值这一层是无条件成立的。去掉绝对值后 $\cos\langle n_1, n_2\rangle$ 等于 $\cos\theta$ 还是 $-\cos\theta$ ，取决于两个法向量各自指向哪一侧，而这与二面角本身无关。planeAngle 因此只承诺锐角化的结果，取值 $0°$ 到 $90°$ 。

一个曾经想当然的口径值得记下来：既然形体的每个面都有一个朝外的法向量，那么「两个面都取外法向量」似乎就把朝向定死了。实测不成立，而且错得很整齐。正四棱锥 $P$ - $ABCD$ （底边 2、高 2）的两个相邻侧面 $PAB$ 、 $PBC$ ，外法向量分别是 $(0,-4,2)$ 与 $(4,0,2)$ ，夹角 $78.4630°$ ；而沿侧棱 $PB$ 的二面角是 $101.5370°$ 。两者互补。这不是巧合：凸形体上相邻两面的外法向量夹角恒等于该棱二面角的补角，正四面体上是 $109.4712°$ 对 $70.5288°$ ，正方体上是 $90°$ 对 $90°$ （补角与自身相等，所以那里看不出问题）。

警示 · 只算法向量夹角的余弦、再取反余弦，得到的是二面角与它的补角中的一个，无从判断是哪一个。判据必须另找，常用的有三条：在两个半平面内各取一点，看它们分别落在对面平面的哪一侧；观察图形本身是锐角还是钝角；或者按下一节的做法把朝向统一掉。含参数的题目里这一步不能省——参数变化时二面角可能从锐角变成钝角，而锐角化的读数一路连续，看不出那次跨越。

3 · 用棱把朝向定死

把两个法向量都取成「棱的方向向量叉半平面内的一个向量」：

n_\alpha = l \times \overrightarrow{OA}, \qquad n_\beta = l \times \overrightarrow{OB}

两者的朝向随即被同一个 $l$ 统一，夹角恒等于二面角本身，钝角也不例外。验算最快的方式是把棱摆在 $x$ 轴上：取 $l = (1,0,0)$ 、 $\overrightarrow{OA} = (0,1,0)$ 、 $\overrightarrow{OB} = (0, \cos\theta, \sin\theta)$ ，则 $n_\alpha = (0,0,1)$ 、 $n_\beta = (0, -\sin\theta, \cos\theta)$ ，两者夹角的余弦恰为 $\cos\theta$ 。

这个取法的代价是它要求先知道两个半平面内各一个点，也就是说它并不比「棱上作两条垂线」少用信息。它的收益在实现一侧：叉积一次到位，不必解方程组求法向量，也不必再补一次符号判断。dihedralReport 因此把两条路的结果并排交出——垂线法算出的二面角、定向法向量的夹角、以及把其中一个法向量取反后读到的值，三个数一起看，符号问题就没有藏身处。

图 3-1 · 二面角与两个法向量的夹角。可调方位角与俯仰角旋转视图，拖动二面角的大小跨过 90°，切换到正四棱锥与正方体的实例；读数并列给出垂线法的结果、定向法向量的夹角、取反后的值与锐角化结果。

4 · 两个算例

例 4.1 正四棱锥 $P$ - $ABCD$ 底边 2、高 2，求相邻两侧面沿侧棱 $PB$ 的二面角 $A$ - $PB$ - $C$ 。

取 $A$ 为原点， $B(2,0,0)$ 、 $C(2,2,0)$ 、 $P(1,1,2)$ 。棱的方向 $\overrightarrow{PB} = (1,-1,-2)$ ， $A$ 在棱上的垂足是 $O(5/3,\, 1/3,\, 2/3)$ 。两条垂线方向为 $\overrightarrow{OA} = (-5/3, -1/3, -2/3)$ 与 $\overrightarrow{OC} = (1/3,\, 5/3,\, -2/3)$ ，两者与 $\overrightarrow{PB}$ 的数量积都是 0，夹角的余弦为 $-0.2$ ，即 $101.5370°$ ，是钝角。

按定向取法： $n_\alpha = \overrightarrow{PB} \times \overrightarrow{PA} = (0,4,-2)$ ， $n_\beta = \overrightarrow{PB} \times \overrightarrow{PC} = (4,0,2)$ ， $\cos\langle n_\alpha, n_\beta\rangle = -4/20 = -0.2$ ，反余弦即 $101.5370°$ 。若把 $n_\beta$ 取反，读到的是 $78.4630°$ 。

例 4.2 正方体 $ABCD$ - $A_1B_1C_1D_1$ 中求二面角 $A_1$ - $BD$ - $A$ 。棱 $BD$ 的中点 $O$ 同时是 $A_1$ 与 $A$ 到棱的垂足，两条垂线方向为 $\overrightarrow{OA_1}$ 与 $\overrightarrow{OA}$ ，夹角的正切为 $\sqrt{2}$ ，即 $54.7356°$ 。锐角化在这一例上不会出错，因为答案本身是锐角。同一条棱上的 $A_1$ - $BD$ - $C_1$ 就不同了：它等于 $180° - 2 \times 54.7356° = 70.5288°$ ，仍是锐角，但若换成底边更长的长方体，这个角会跨过 $90°$ 变成钝角，而锐角化的读数在跨越处只会折回来，一路看不出发生了什么。

5 · 参考文献

Dihedral angle. Wikipedia. 二面角的定义、平面角与法向量夹角的关系。https://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_angle
Dihedral Angle. Wolfram MathWorld. 二面角的公式与常见多面体的取值。https://mathworld.wolfram.com/DihedralAngle.html
Normal (geometry). Wikipedia. 法向量的朝向自由度。https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_(geometry)
Cross product. Wikipedia. 叉积的方向由右手规则定，定向取法的依据。https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product