空间向量 · 用坐标与法向量解立体几何

空间向量的运算与平面向量逐字相同，只是每处多一个分量：$a \cdot b = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$，$|a| = \sqrt{a \cdot a}$，垂直仍写成 $a \cdot b = 0$。新增的是两种只在三维里成立的东西。一是叉积 $a \times b$，它给出同时垂直于两者的向量，于是平面可以由一个法向量代表；二是混合积 $[a\,b\,c]$，它为零恰是三向量共面，也就是空间向量基本定理里「不共面」那个条件的代数写法。

本系列前两页立地基：建系、写坐标、把线性运算与数量积搬到三维，然后是空间向量基本定理与共面定理——任给三个不共面的向量，空间中每个向量都有唯一一组分解系数，判据是那个混合积。后三页是向量法的三类主战场：线面角（法向量与方向向量夹角的余角）、二面角（两个法向量的夹角，但它只能给出锐角化的结果，钝角要另想办法定）、以及点线距、点面距与异面直线距离。

一处贯穿全系列的取舍写在这里：图一律用正交投影而非透视。立体几何的判定与度量几乎全靠平行性，而透视会把平行线画成相交，图上读到的信息与结论冲突。代价是丢掉深度感，由旋转交互与「被挡的棱画虚线」补回来。

坐标与基本定理

建立空间直角坐标系后，向量的加减、数乘与数量积都是逐分量的算术。空间向量基本定理给出「三个不共面的向量能表示一切」这一覆盖性结论，共线与共面定理是它降一维、降两维的两个特例，判据分别是叉积与混合积。

$(x, y, z)$ · $a \cdot b = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

空间直角坐标系与坐标运算

建立空间直角坐标系后，向量的加减、数乘与数量积都是逐分量的算术，模与两点距离由三维勾股定理给出。垂直仍写成数量积为零。

$p = x a + y b + z c$ · 混合积

空间向量基本定理与共面定理

共线定理、共面定理与空间向量基本定理是同一件事在三个维度上的说法：一个、两个、三个不退化的向量各自能表示多大范围。判据依次是叉积、混合积与它们是否为零。

混合积当共面判据要小心它的量纲

「三向量共面 ⟺ 混合积为零」在数学上无懈可击，写成代码却要留意混合积是个体积：三个向量同时放大 $k$ 倍，它放大 $k^3$ 倍，而「共面」这件事一点没变。实测 $a = (2,0,0)$、$b = (0,2,0)$、$v = (1,1,10^{-7})$ 的混合积是 $4 \times 10^{-7}$，整体放大 10 倍后是 $4 \times 10^{-4}$——拿固定的 $10^{-6}$ 当阈值，同一个构型放大一遍就从「共面」翻成「不共面」。改判「$v$ 到那个平面的距离与 $|v|$ 之比」则两档都是 $7.07 \times 10^{-8}$，不随尺度动。 向量法解立体几何

平面由一个法向量代表之后，线面角、二面角与各类距离都化为数量积与叉积的组合。三页分别处理角与距离，并逐处交代向量法读不出的东西：法向量的朝向、二面角的锐钝、以及浮点下靠不住的那几档。

$\sin\theta = \lvert\cos\langle a, n\rangle\rvert$

法向量与线面角

法向量把一张平面装进一个向量。直线与平面所成角等于方向向量与法向量夹角的余角，取值只在 0° 到 90° 之间，绝对值来自法向量朝向的任意性。

$\theta$ 或 $180° - \theta$ · 定向

二面角与法向量的朝向

两个法向量的夹角等于二面角或它的补角，究竟是哪一个取决于两个法向量的朝向。把朝向统一成「棱的方向叉半平面内的向量」，夹角就恒等于二面角本身。

$\dfrac{\lvert AP \times d\rvert}{\lvert d\rvert}$ · $\dfrac{\lvert AP \cdot n\rvert}{\lvert n\rvert}$

空间距离：点线、点面与异面直线

三类距离各有一个一行的向量公式：点线距用叉积，点面距用法向量，异面直线距用公垂线方向。线面距与面面距在平行时都归结为点面距。

法向量夹角与二面角差一个朝向

每个平面有两个方向相反的法向量，随手取一对算夹角，得到的是二面角或它的补角，无从分辨。实测正四棱锥（底边 2、高 2）相邻两侧面沿侧棱的二面角是 101.5370°，而两法向量锐角化后只剩 78.4630°。定朝向有一条干净的做法：两个法向量都取「棱的方向向量 × 该半平面内的一个向量」，朝向随即被棱统一，夹角就等于二面角本身，钝角也对。

相关链接

运算与判据

• Euclidean vector — Wikipedia en.wikipedia.org 向量的定义与坐标表示, 二维与三维共用一套。
• Dot product — Wikipedia en.wikipedia.org 数量积的几何式与坐标式, 以及夹角与垂直的判据。
• Cross product — Wikipedia en.wikipedia.org 叉积: 同时垂直于两个因子, 长度是平行四边形的面积。
• Triple product — Wikipedia en.wikipedia.org 混合积与它的体积含义, 共面判据的来源。

基底与共面

• Basis (linear algebra) — Wikipedia en.wikipedia.org 基底的定义与「表示唯一」这一条。
• Cramer's rule — Wikipedia en.wikipedia.org 克拉默法则, 三元一次方程组写成三个混合积之比。
• Coplanarity — Wikipedia en.wikipedia.org 共面的多种等价判据。
• Right-hand rule — Wikipedia en.wikipedia.org 右手系的约定, 决定叉积朝哪一侧。

角与距离

• Normal (geometry) — Wikipedia en.wikipedia.org 法向量, 以及它把平面装进一个向量的做法。
• Dihedral angle — Wikipedia en.wikipedia.org 二面角的定义与它同法向量夹角的关系。
• Skew lines — Wikipedia en.wikipedia.org 异面直线、公垂线与它们之间的距离。
• Point-Plane Distance — Wolfram MathWorld mathworld.wolfram.com 点到平面距离公式的推导。

作图与数值

• Orthographic projection — Wikipedia en.wikipedia.org 正交投影: 保平行、保中点、保比例, 不保长度与角。
• Condition number — Wikipedia en.wikipedia.org 条件数, 解释 acos 在 1 附近为何只剩几位有效数字。
• Lagrange's identity — Wikipedia en.wikipedia.org 拉格朗日恒等式, 正规方程的行列式恰是叉积长度的平方。
• Line-Line Distance — Wolfram MathWorld mathworld.wolfram.com 两条直线间的距离, 含平行时的退化。