a/sin A = 2R

正弦定理与两解的来历

三角形有六个元素：三条边 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 与三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，边 $a$ 对角 $A$ 。这六个量之间只有三个自由度，给定三个（三个角除外，那只定形状不定大小）就该能把余下三个算出来。完成这件事的工具是两条定理，本页处理其中管「边与它的对角」的那一条。

1 · 边与对角之比

在 $\triangle ABC$ 中过 $C$ 向 $AB$ 作垂线，垂足记作 $D$ 。 $CD$ 在两个直角三角形里各有一种写法： $CD = b\sin A$ ，也等于 $a\sin B$ 。两式相等，两端同除以 $\sin A\sin B$ ，得 $a/\sin A = b/\sin B$ 。换一条高再来一次，第三个比值也接上。

定理 1.1（正弦定理）在任意三角形中 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ ，其中 $R$ 是外接圆半径。

垂线落在 $AB$ 之外（有一个内角为钝角时）也不影响推导：那时 $\sin$ 的值由诱导公式给出， $\sin(180° - A) = \sin A$ 把符号补回来。所以正弦定理对锐角与钝角三角形一体适用。

公共值等于 $2R$ 这一层来自圆周角定理。把 $a$ 所对的圆周角 $A$ 挪到以 $a$ 为直径端点的位置，得到一个直角三角形， $a$ 是它的斜边、 $2R$ 是外接圆直径，由此得 $a = 2R\sin A$ 。这一层在正弦定理的常见叙述里常被省掉，但它是「已知两角一边求外接圆半径」这类题的全部依据。

2 · 边角互化的两个方向

定理 1.1 是一条等式，两个方向都能用。把边换成角： $a = 2R\sin A$ ，含 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的齐次式便可整体换成含 $\sin A$ 、 $\sin B$ 、 $\sin C$ 的式子， $2R$ 约掉。把角换成边则是反向。

由 $a = 2R\sin A$ 立刻得到一条判据： $a > b$ 当且仅当 $\sin A > \sin B$ 。这条等价只在三角形内部成立，一般的角并不满足—— $100°$ 与 $95°$ 的正弦分别是 $0.985$ 与 $0.996$ ，角大而正弦小。三角形里之所以成立，是因为三个内角中至多一个是钝角。

3 · 已知条件的类型与对应的定理

已知	记法	用哪条定理	解的组数
两角及夹边	ASA	内角和补第三角，再用正弦定理	$1$
两角及一角的对边	AAS	同上	$1$
两边及其中一边的对角	SSA	正弦定理	$0$ 、 $1$ 或 $2$
两边及夹角	SAS	余弦定理	$1$
三边	SSS	余弦定理	$1$

前两类只差一步内角和的换算，本质是同一件事。后两类交给余弦定理与边角互化。真正需要单独讨论的只有 SSA。

4 · 两解的几何来历

SSA 的麻烦出在反解上：正弦定理给出 $\sin A = a\sin B / b$ ，而 $(0°,\ 180°)$ 内满足同一个正弦值的角有两个，互为补角。哪个成立、是否都成立，要用内角和 $A + B < 180°$ 逐个检验。检验的结果可以压成一句：两组解只出现在已知角对着两条已知边中较短的那条、且该角为锐角时。

把这件事画出来更直接。顶点 $B$ 放在原点， $C$ 放在 $(a,\ 0)$ ，则角 $B$ 的另一条边是一条过原点、倾角为 $B$ 的射线；顶点 $A$ 必须落在这条射线上，且到 $C$ 的距离为 $b$ 。于是解的个数就是「以 $C$ 为心、半径 $b$ 的圆」与「这条射线」的交点个数：不相交无解，相切一解，相交两解。

图 4-1 · 边边角的解由圆与射线的交点个数决定，两组解在图上是同一条射线上的两个点。可调两条已知边与已知角，观察交点个数与两组解各自的三个未知元素。

两组解共用一个外接圆： $2R = b/\sin B$ 只由已知量决定，与选了哪个 $A$ 无关。取 $a = 6$ 、 $b = 4$ 、 $B = 30°$ ，两组解的 $A$ 分别是 $48.59°$ 与 $131.41°$ ，而 $a/\sin A$ 算出来是 8.000000000000002 与 7.999999999999999， $b/\sin B$ 是 8.000000000000002——三个数只在末位上不同。

警示 · 相切那条分界线在双精度下并不给出「恰好一解」。取 $a = 5$ 、 $B = 30°$ 、 $b = 2.5$ ，数学上 $a\sin B = b$ 、 $\sin A = 1$ 、圆与射线相切。实测 5 * Math.sin(Math.PI / 6) 算出的是 2.4999999999999996 而不是 2.5，于是 $\sin A = 0.9999999999999998$ ，反解得 89.99999879258174° 与 90.00000120741826° 两个候选，两者都通过内角和检验。换那条独立的几何路线也一样：圆与射线的判别式算出 3.55e-15 而不是零，两个交点参数相差 1.19e-7。两条路线一致地多数出一个，故 triangle.test.ts 里那条断言写的是「两条路线给出的个数一致」，而不是「恰好一解」——把切点情形当作可判定的分类，本身就是浮点下做不到的事。

5 · 参考文献

Law of sines. Wikipedia. 正弦定理的多种证明、外接圆形式与两解情形。https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_sines
Solution of triangles. Wikipedia. 已知元素的各种组合各用哪条定理、各有几组解。https://en.wikipedia.org/wiki/Solution_of_triangles
Circumscribed circle. Wikipedia. 外接圆与外心， $a/\sin A = 2R$ 的几何来历。https://en.wikipedia.org/wiki/Circumscribed_circle
Law of Sines. Wolfram MathWorld. 定理的等价形式与推论清单。https://mathworld.wolfram.com/LawofSines.html
Law of tangents. Wikipedia. 正切定理，对数表时代解三角形的主力公式。https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_tangents