数学 / 解三角形 · 六个元素里的三个 / 余弦定理与边角互化 待审核 2 / 4
勾股定理的推广

余弦定理与边角互化

勾股定理只对直角三角形成立。夹角一旦不是直角，a2a^2 与 b2+c2b^2 + c^2 就不再相等，而差额是可以写出来的：它只依赖两条邻边与夹角。这条补上差额的等式就是余弦定理。

1 · 修正项的来历

把三角形摆进坐标系：AA 放在原点，BB 放在 (c, 0)(c,\ 0)，则 CC 的坐标是 (bcos⁡A, bsin⁡A)(b\cos A,\ b\sin A)。边 aa 是 BB 到 CC 的距离，直接按两点距离公式展开：

a2=(c−bcos⁡A)2+(bsin⁡A)2=b2cos⁡2A+b2sin⁡2A+c2−2bccos⁡Aa^2 = (c - b\cos A)^2 + (b\sin A)^2 = b^2\cos^2 A + b^2\sin^2 A + c^2 - 2bc\cos A

前两项由平方关系合成 b2b^2，得到：

定理 1.1（余弦定理） 在任意三角形中 a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A，另两式由字母轮换给出。

坐标推导顺带交出了几何读法。过 CC 向 ABAB 作垂线，垂足 HH 的横坐标恰是 bcos⁡Ab\cos A，这个量是 ACAC 在 ABAB 上的投影长。AA 为钝角时 cos⁡A\cos A 为负，投影随之为负，垂足落到 AA 的左侧、线段 ABAB 之外；代数式里那个负号在图上就是这件事。

图 1-1 · 三角形与 CC 在 ABAB 上的投影 AH=bcos⁡AAH = b\cos A。可调两条邻边与夹角，读数并排给出 a2a^2 与 b2+c2b^2 + c^2，观察垂足何时移出线段 ABAB。

A=90°A = 90° 时 cos⁡A=0\cos A = 0，修正项整项消失，等式退回勾股定理。所以余弦定理与勾股定理是同一条等式的两个版本，后者只是 cos⁡A=0\cos A = 0 的特例。

2 · 由三边反解出的角

定理 1.1 移项即得 cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}。这个方向比正弦定理干净：余弦在 (0°, 180°)(0°,\ 180°) 上单调递减，一个余弦值对应唯一一个内角，不存在 给值求角与凑角的拆法 里讨论的那种二解。已知三边求角一律走余弦定理，正是为了避开那次分类讨论。

警示 · 分子 b2+c2−a2b^2 + c^2 - a^2 在三点接近共线时是两个相近数之差，商可以越出 [−1, 1][-1,\ 1]，而 Math.acos 对越界输入返回 NaN。这不是假想的边界：随机生成大批细长三角形、每个取三个角，越界的商占一到两成——具体比例随「抽样有多退化」而变（两次不同的抽样分别得到 13.5%13.5\% 与 24.8%24.8\%），故它不是一个可复现的常数，能钉住的是具体那一组：三边取 34153.558680933005、7.546010854644671、34161.10469178765 时商为 1.0000000000003217，单测里以逐位相等断言这个值与随后的 NaN。angleFromSides 因此先把商夹到 [−1, 1][-1,\ 1] 再交给 Math.acos。夹一下不能把精度找回来，只能保证返回的是 00 或 180180 而不是 NaN——真正的精度损失早在「顶点坐标换算成边长」那一步就发生了，三角形面积与形状判定 §3 有同一现象的量化。

角度本身也在流失精度。顶点取 (0, 0)(0,\ 0)、(1, 0)(1,\ 0)、(0.5, h)(0.5,\ h)，CC 处的角接近 180°180°。把由坐标直接量出的夹角（走 arctan⁡\arctan 与向量叉积）当参照，余弦定理反解出的角在 h=10−2h = 10^{-2} 时相对偏差 4.32e-15，h=10−4h = 10^{-4} 时 3.04e-13，h=10−6h = 10^{-6} 时 1.41e-11，h=10−8h = 10^{-8} 时 6.83e-10。高度每缩小两个数量级，相对偏差涨约五十倍，而绝对误差始终不超过 1.3×10−71.3 \times 10^{-7} 度——只看绝对误差会以为一切正常。

3 · 两类已知条件

已知 步骤 要点
三边（SSS） 三次反解或两次反解加内角和 先算最大边的对角，它是唯一可能的钝角
两边及夹角（SAS） 一次正向算出第三边，再反解一个角 反解时优先算较小边的对角，避开钝角的符号判断

两条建议都为同一件事服务：把「可能是钝角」的那个角安排在能由符号自动定出的位置上，而不是靠事后检查。第三边算出后若改用正弦定理求余下的角，就又要面对 SSA 那种二解判别，得不偿失。

4 · 形状判定

三角形的钝直锐由最大角决定，而最大角必是最大边的对角。设三边排序后为 x≤y≤zx \le y \le z，只需看 x2+y2−z2x^2 + y^2 - z^2 的符号：为正则是锐角三角形，为零是直角三角形，为负是钝角三角形。余下两角必为锐角，不必再验。

例 4.1 三边为 22、33、44。最大边是 44，22+32−42=−3<02^2 + 3^2 - 4^2 = -3 < 0，故为钝角三角形，钝角是 44 的对角，cos⁡=−3/12=−0.25\cos = -3/12 = -0.25，约 104.48°104.48°。三边为 33、44、55 时同一式子得 00，直角。三边为 44、55、66 时得 5>05 > 0，锐角。

容差按边长平方的相对量取，而不是取一个绝对值：classify 里判零用的是 ∣x2+y2−z2∣≤εz2|x^2 + y^2 - z^2| \le \varepsilon z^2。边长量级从米换成毫米，同一个三角形的形状结论不该跟着变，而绝对容差做不到这一点。

5 · 参考文献

  1. Law of cosines. Wikipedia. 余弦定理的多种证明、历史与它对勾股定理的推广。https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_cosines
  2. Law of Cosines. Wolfram MathWorld. 等价形式与由它派生的半角公式。https://mathworld.wolfram.com/LawofCosines.html
  3. Jamshīd al-Kāshī. Wikipedia. 余弦定理在三角学史上的定型者之一。https://en.wikipedia.org/wiki/Jamsh%C4%ABd_al-K%C4%81sh%C4%AB
  4. Loss of significance. Wikipedia. 相近数相减导致有效位抵消的一般机制。https://en.wikipedia.org/wiki/Loss_of_significance
  5. Solution of triangles. Wikipedia. SSS 与 SAS 两类已知条件的标准解法。https://en.wikipedia.org/wiki/Solution_of_triangles