基线 · 交会定位

实地测量：仰角与方位角

测量里量得到的只有两类量：距离与角。够不着的距离靠解三角形补出来，前提是先把量到的角折成某个三角形的内角。这一步折算是全部难处所在，公式本身只是最后一行。

1 · 三种角的口径

仰角与俯角量在竖直平面内，基准是过观测点的水平线：目标在水平线之上取仰角，之下取俯角，两者都取正值，方向由名称区分。方位角量在水平面内，基准是正北方向，顺时针为正，取值在 $[0°,\ 360°)$ 内。

方位角与数学里的极角不是同一套：极角以正东为 $0°$ 、逆时针为正。两者的换算是一次翻转加一次平移， $\theta = 90° - \beta$ 。

注 · 这条换算在实现里只留一个出口 bearingVector，因为把两套角度混用是这类题最常见的错处，而混用之后算出的位置往往仍在合理范围内、看不出错。换算本身也不干净：正西方向的方位角是 $270°$ ，折成极角是 $-180°$ ，而 Math.sin 在 $-\pi$ 处给出 -1.2246467991473532e-16 而不是 $0$ 。所以方向向量的分量判等一律走容差，triangle.test.ts 里专有一条断言把这个尾巴钉住——它不影响任何距离读数，但会让「这个方向是不是正西」这类相等判断在不加容差时全部失败。

2 · 竖直平面内的高度测量

目标底部够不着时，在同一竖直平面内取两个观测点。远点 $P$ 测得仰角 $\alpha$ ，近点 $Q$ 测得仰角 $\beta$ ，两点相距 $d$ 。设目标高为 $h$ 、 $P$ 到目标底部的水平距离为 $x$ ，则 $h = x\tan\alpha$ 且 $h = (x - d)\tan\beta$ 。消去 $x$ ：

h = \frac{d}{\cot\alpha - \cot\beta}

分母要求 $\beta > \alpha$ ，也就是近点看得更陡；两个仰角相等时两条视线平行，永不相交，无解。

图 2-1 · 两个仰角测同一目标的竖直剖面。可调两站间距与两个仰角，读数给出目标高、两站到底部的距离，以及高度对仰角的敏感度。

警示 · 这个公式的可用性由几何决定，不由精度决定。 $d = 100$ 时实测： $\alpha = 30°$ 、 $\beta = 60°$ 给出 $h = 86.60$ ，敏感度 $\mathrm{d}h/\mathrm{d}\beta$ 是 -1.745 每度； $\alpha = 30°$ 、 $\beta = 30.1°$ 给出 $h = 14367.23$ ，敏感度 -143239.59 每度，放大约 $8.2$ 万倍。后一组里 $\beta$ 只多读出 $0.1°$ ，算出的高度就从 14367 掉到 7205，少了一半。经纬仪的读数精度到不了这个量级，所以两个测站必须拉开到两个仰角差得开——换公式、加位数都无济于事。

俯角的题型只是换个基准。从高处向下看两个目标点时，把俯角的余角当作三角形的内角，或者直接把水平线当底边，两种摆法算出的是同一个三角形。

3 · 水平面内的交会定位

目标在水平面内、两站都能看到它时，测两个方位角就够了。测站 $A$ 与 $B$ 之间的距离叫基线，它与两条视线围成一个三角形：两个方位角折成三角形在 $A$ 、 $B$ 处的内角，第三角由内角和补出，两段距离由正弦定理给出。

按向量做同一件事更直接：两条视线各是一条参数化射线，求交点即解一个二元一次方程组。行列式是两个方向向量的叉积，它为零意味着两条视线平行。

图 3-1 · 两站方位角交会定位的平面图，虚线是各站的正北方向。可调基线长与两个方位角，读数同时给出向量求交与正弦定理两条路线的结果以及它们的差。

行列式接近零而不等于零的那一段最值得注意：方程组仍可解，解出的交点却对方位角的读数极敏感。两个方位角都逼近 $270°$ 与 $90°$ （即两条视线都近乎沿基线方向）时就是这个样子，实测基线 $1000$ 、方位角取 $89.9°$ 与 $270.1°$ 时行列式只有 3.491e-3。测量学里选基线的准则由此而来：基线要与目标方向张开足够大的角。

4 · 平面近似的边界

以上都把地面当平面。距离大到与地球半径可比时这个近似失效，三角形的内角和不再是 $180°$ ，要换球面三角的一套公式。分界线没有统一口径，取决于要求的相对精度：大地测量常以几十公里为界，而航海与航空的航线计算一律走球面（或椭球）模型。本页的两个 lab 都不涉及这一层，画板上的坐标一律是平面直角坐标。

5 · 参考文献

Triangulation (surveying). Wikipedia. 三角测量：由基线与两个角定出目标位置。https://en.wikipedia.org/wiki/Triangulation_(surveying)
Bearing (navigation). Wikipedia. 方位角的定义：以正北为零、顺时针为正。https://en.wikipedia.org/wiki/Bearing_(navigation)
Resection (orientation). Wikipedia. 交会定位，由两站方位角求目标点。https://en.wikipedia.org/wiki/Resection_(orientation)
Theodolite. Wikipedia. 经纬仪，水平角与竖直角的实测器具及其精度。https://en.wikipedia.org/wiki/Theodolite
Spherical trigonometry. Wikipedia. 球面三角，平面近似失效之后的接续。https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_trigonometry