½ab·sin C · 海伦公式

三角形面积与形状判定

面积公式在初中只有一条：底乘高除以二。高不是三角形的原始元素，要么另测，要么由已知的边与角算出来。把「算高」这一步合并进公式，就得到几个只用六个元素的表达式。它们在数学上等价，在浮点下不等价，而分歧之大超出直觉。

1 · 由两边与夹角给出的面积

以 $AB$ 为底，高是 $C$ 到 $AB$ 的距离。由余弦定理与边角互化 §1 的坐标摆法， $C$ 的纵坐标是 $b\sin A$ ，这就是高。代入底乘高除以二：

S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C

三式由字母轮换给出，用哪一式取决于已知的是哪两条边与哪个夹角。 $\sin$ 在 $(0°,\ 180°)$ 上恒为正，所以不必像余弦定理那样操心符号。

配上正弦定理还能换出两个常用形式。把 $\sin A$ 换成 $a/(2R)$ 得 $S = \dfrac{abc}{4R}$ ；用内切圆半径 $r$ 与半周长 $s$ 则有 $S = rs$ ，后者的来历是把三角形按内心切成三块，每块以一条边为底、以 $r$ 为高。

2 · 只由三边给出的面积

三边已知时可以先反解一个角再用 $\frac{1}{2}ab\sin C$ ，但有一条直接的路。在 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ 里把 $\sin C$ 写成 $\sqrt{1 - \cos^2 C}$ ，再把余弦定理的 $\cos C$ 代进去，整理即得海伦公式：

S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \qquad s = \frac{a+b+c}{2}

这条公式的形式对称，不需要选定哪个角，代价是四个因子里有三个是减法。 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 接近共线时 $s - a$ 这类因子是两个相近数之差，有效数字大量抵消。Kahan 给出的稳定写法把三边降序排成 $x \ge y \ge z$ ，再按

S = \frac{1}{4}\sqrt{(x + (y + z))\,(z - (x - y))\,(z + (x - y))\,(x + (y - z))}

逐括号计算，每个括号都避开了「大数减大数」。第四条路径与边长无关：三个顶点的坐标已知时， $S = \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|$ 只做两次乘法与一次减法。

3 · 四个算法在细长三角形上的分歧

图 3-1 · 四种面积算法并排跑，参照取坐标叉积。可调两条邻边、夹角与压扁指数

k

，观察经过边长的三式何时与参照分道、何时一同归零。

警示 · 「海伦公式在细长三角形上不稳，改用 Kahan 的排序形式即可」这句常见说法只在一小段上成立。顶点取 $(0,\ 0)$ 、 $(1000,\ 0)$ 、 $(500,\ h)$ ，精确面积是 $500h$ ，实测： $h = 10^{-2}$ 时海伦的相对误差是 3.97e-7、Kahan 是 1.12e-7，只赢 $3.5$ 倍； $h = 10^{-3}$ 时两者只差 $1$ ulp，相对误差同为 5.29e-6； $h = 10^{-6}$ 时两者一同给出 0。根源不在面积公式： $h = 10^{-6}$ 时两条腰的舍入值之和恰好等于底边（a + b === c 为真），三角不等式在浮点下已不成立，高度那点信息在算边长时就丢光了。要精度就不要绕道边长，直接用坐标叉积——它在同一组数据上仍给出 0.0005。

这条结论改写了本页原先的叙述。落笔时打算写的是「海伦不稳、Kahan 稳」，实测把前半句保留、后半句推翻：Kahan 的排序形式修的是公式内部的相消，而细长三角形的信息损失发生在公式之前。它仍然值得用（同样的输入不会更差），只是不能当作细长三角形的解药。

4 · 形状判定

面积之外，另一类常见问题是判断形状。钝直锐由最大角定，而最大角必是最大边的对角，所以只需一次符号判断：三边排序为 $x \le y \le z$ 后看 $x^2 + y^2 - z^2$ 的正负。等腰与等边则只看边长是否相等。两栏互不排斥，等腰直角三角形同时命中。

例 4.1 三边 $1$ 、 $1$ 、 $\sqrt{2}$ ： $1 + 1 - 2 = 0$ 判为直角，两条短边相等判为等腰，故为等腰直角三角形。三边 $2$ 、 $2$ 、 $2$ ： $4 + 4 - 4 = 4 > 0$ 判为锐角，三边相等判为等边。三边 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 不满足严格三角不等式，classify 返回 null 而不是给出一个形状。

「边长相等」的判定同样要走相对容差。用绝对容差时，把整个三角形按同一比例放大一千倍，原本判为等腰的可能就不再等腰了——而形状是相似不变量，不该随尺度改变。classify 里两处容差都以最长边为基准，一处按 $z^2$ 、一处按 $z$ 。

5 · 参考文献

Heron's formula. Wikipedia. 海伦公式的多种证明与数值稳定版本。https://en.wikipedia.org/wiki/Heron%27s_formula
Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle. W. Kahan. 细长三角形上面积与角度的失稳分析，排序形式的出处。https://people.eecs.berkeley.edu/~wkahan/Triangle.pdf
Triangle Area. Wolfram MathWorld. 面积的多种表达式，含坐标行列式形式。https://mathworld.wolfram.com/TriangleArea.html
Loss of significance. Wikipedia. 相近数相减导致有效位抵消的一般机制。https://en.wikipedia.org/wiki/Loss_of_significance
Numerical stability. Wikipedia. 稳定性的口径，以及「稳定算法」为何不能修复已损的输入。https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_stability