物理 / 振动与波 · 从简谐运动到驻波 / 简谐运动的描述 待审核 1 / 9
参考圆与相位

简谐运动的描述

物体在某个位置附近往复运动，如果位移按照正弦或余弦规律随时间变化，这种运动称为简谐运动（simple harmonic motion）——弹簧振子（spring oscillator）的小振幅振动、单摆（simple pendulum）的小摆角摆动都是它的实例。本页统一取余弦作为约定：x(t)=Acos⁡(ωt+φ)x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)，其中 AA 是振幅、ω\omega 是角频率、φ\varphi 是初相；换用正弦只是把 φ\varphi 平移 π/2\pi/2，两种写法描述的是同一族曲线。

1 · 参考圆与位移

理解 x(t)x(t)、v(t)v(t)、a(t)a(t) 三者相位关系最直接的方式，不是分别盯着三条曲线各自的公式，而是参考圆（reference circle）：设想一个点以角速度 ω\omega 在半径为 AA 的圆周上做匀速圆周运动，某一时刻转过的相位角是 θ=ωt+φ\theta=\omega t+\varphi，这个点的坐标是 (Acos⁡θ,Asin⁡θ)(A\cos\theta, A\sin\theta)。把它竖直投影到水平直径（圆心所在的水平线）上，投影点的坐标恰好是 Acos⁡θA\cos\theta，正是本页选定的位移公式。简谐运动就是匀速圆周运动在一条直径上的影子：圆周运动本身在旁边匀速转，影子在直径上来回滑，转得快慢由 ω\omega 决定，滑动的范围由 AA 决定。

图 1-1 · 参考圆上的点与它在直径上的投影。可调相位角 θ、振幅 A 与角频率 ω，左图的投影点与右图 x-t 曲线上的点用同一种颜色标记。

2 · 速度与加速度的相位关系

位置对时间求一次导数得到速度，再求一次导数得到加速度，求导过程不展开，直接给出结论并让上方的图去验证：

v(t)=−Aωsin⁡(ωt+φ),a(t)=−Aω2cos⁡(ωt+φ)=−ω2x(t)v(t) = -A\omega\sin(\omega t+\varphi), \qquad a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t+\varphi) = -\omega^2 x(t)

v(t)v(t) 与 x(t)x(t) 形式相同，只是相位提前了 90°90°：把 θ\theta 换成 θ+90°\theta+90° 代入余弦，恰好得到正比于 −sin⁡θ-\sin\theta 的形式，量值上再乘一个 ω\omega。a(t)=−ω2x(t)a(t)=-\omega^2 x(t) 更进一步——加速度与位移方向相反、大小成正比，比例系数是角频率的平方，这条关系是简谐运动的判定性特征：只要测出一个系统的位移与加速度始终满足这个比例，就可以断定它在做简谐运动，不必先假设正弦或余弦的形式。

3 · 弹簧振子与单摆的周期

简谐运动的角频率由具体系统决定。弹簧振子（一端固定、另一端接质量为 mm 的物体，劲度系数为 kk 的弹簧）满足 ω=k/m\omega=\sqrt{k/m}；单摆（摆长 LL，摆角很小时）满足 ω=g/L\omega=\sqrt{g/L}。两者代入 T=2π/ωT=2\pi/\omega，弹簧振子的周期是 2πm/k2\pi\sqrt{m/k}，单摆的周期是 2πL/g2\pi\sqrt{L/g}。弹簧振子的周期与振幅无关——不论摆动幅度大小，只要 kk、mm 不变，来回一次的时间就是同一个数，这是简谐运动区别于普通往复运动的一处不显眼却重要的性质。

图 3-1 · 弹簧振子与单摆的周期公式验证。可切换振子类型、调节 k、m 或摆长 L，动画走完一整圈后给出实测用时，与公式值 T = 2π/ω 对拍。

单摆的 ω=g/L\omega=\sqrt{g/L} 只在摆角很小时成立，推导过程把 sin⁡θ\sin\theta 近似成 θ\theta。用数值积分（四阶 Runge–Kutta，步长 10−610^{-6} s）直接解摆动的微分方程 θ¨=−(g/L)sin⁡θ\ddot\theta=-(g/L)\sin\theta，取 L=1L=1 m 算出精确周期，与小角度公式 T0=2πL/g≈2.007T_0=2\pi\sqrt{L/g}\approx2.007 s 对比：摆角 20°20° 时偏差约 0.77%0.77\%，23°23° 时越过常见的 1%1\% 门槛，60°60° 时偏差已到 7.3%7.3\%，90°90° 时偏差达 18%18\%——摆角越大，真实周期比小角度公式给出的值越长，公式失效不是一步到位的「对或错」，而是一条随摆角增大连续变差的精度曲线。

警示 · ω=g/L\omega=\sqrt{g/L} 只是小角度近似，摆角超过约 20°20° 后周期明显变长，题目若额外说明摆角较大，不能直接套用这条公式。

4 · 参考文献

  1. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 15. Wiley.
  2. Nelson, R. A., & Olsson, M. G. (1986). The pendulum: Rich physics from a simple system. American Journal of Physics, 54(2), 112–121.