动能与势能守恒

简谐运动的能量

简谐运动的描述给出了弹簧振子的位移、速度公式： $x(t)=A\cos\theta$ 、 $v(t)=-A\omega\sin\theta$ ，其中 $\theta=\omega t+\varphi$ 。本页把这两个量代入动能与势能的定义，考察它们各自随时间怎么变化，以及理想情形（无摩擦、无空气阻力）下两者之和是否随时间改变。

1 · 动能与势能的相互转化

物体运动具有的动能（kinetic energy）是 $KE=\tfrac12 mv^2$ ，弹簧因形变储存的势能（potential energy）是 $PE=\tfrac12 kx^2$ 。代入上一页的公式，并利用 $\omega^2=k/m$ （即 $m\omega^2=k$ ）：

KE = \frac12 m(A\omega\sin\theta)^2 = \frac12 kA^2\sin^2\theta, \qquad PE = \frac12 k(A\cos\theta)^2 = \frac12 kA^2\cos^2\theta

两式相加， $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 直接消去了角度：

KE + PE = \frac12 kA^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta) = \frac12 kA^2

这个和不含 $\theta$ ，也就不含时间——不论振子此刻在哪个位置，动能与势能的和永远是同一个数。这个和就是机械能（mechanical energy），记 $E=\tfrac12 kA^2$ 。经过平衡位置（ $x=0$ ）时 $\cos\theta=0$ ，势能为零、动能达到全部；到达最大位移（ $x=\pm A$ ）时 $\sin\theta=0$ ，动能为零、势能达到全部——能量在两种形式之间来回倒换，总量不变。

图 1-1 · 动能与势能随时间的堆叠面积。可调振幅 A、劲度系数 k 与质量 m，势能画在底层、动能叠在其上，顶边界即总机械能，理想情形下应是一条水平线。

2 · 振幅与总机械能的关系

$E=\tfrac12 kA^2$ 里， $k$ 固定时总机械能只由振幅 $A$ 决定，且是平方关系：振幅翻倍，总机械能变为四倍，不是两倍。这一点在 $E/A^2$ 这个比值上最容易看出——不论 $A$ 怎么调， $E/A^2$ 始终等于 $k/2$ ，一个只与弹簧本身有关、与振动状态无关的常数。

对 core/shm.ts 里的公式跑一组具体数值（ $k=20$ N/m、 $m=2$ kg、 $A=2$ m，故 $E=40$ J）验证到底「和不变」能不变到什么精度：在 $t=0$ 、 $0.1$ 、 $0.912$ 、 $3.14159$ s 等几个时刻，KE+PE 与 $E$ 逐位相等；但在 $t=0.37$ 、 $0.5$ 、 $1.3$ 、 $2.01$ s，两者相差 $\pm7.105427357601002\times10^{-15}$ J——这是 IEEE 754 双精度浮点运算本身的舍入误差，量级正好落在 $A^2$ 、 $\sin^2\theta$ 、 $\cos^2\theta$ 这几次乘法能引入的最后一位有效数字上，不代表这几个时刻真的少了或多了一点机械能。理想模型里的「守恒」是数学恒等式，计算机上验证它时，得先把这层浮点噪声从物理结论里择出去。

3 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 15. Wiley.
Taylor, J. R. (2005). Classical Mechanics, Chapter 5. University Science Books.