linear approximation · (1+x)ⁿ ≈ 1 + nx

近似计算：x 很小时 (1+x)ⁿ ≈ 1 + nx

把 $(1+x)^n$ 按二项式定理展开得 ${1 + n\cdot x + C(n, 2)\cdot x^2 + C(n, 3)\cdot x^3 + \dots}$ 。当 x 很小时， $x^2$ 及更高次项是「小量的小量」，量级迅速衰减，可以丢弃——只保留前一两项，就得到工程上极常用的线性近似 $(1+x)^n \approx 1 + n\cdot x$ ，误差主项是被丢掉的 $C(n, 2)\cdot x^2$ ，随 x 平方衰减。

1 · 丢掉高次项，误差有多大

linear approximation · (1+x)ⁿ ≈ 1 + n·x

拖动 n 与 x，对照精确值 $(1+x)^n$ 、一阶近似 ${1 + n\cdot x}$ 与二阶近似 ${1 + n\cdot x + C(n, 2)\cdot x^2}$ 三者。x 越接近 0，近似越准；补上二阶项后，剩余误差会再降一个量级。

这正是泰勒展开（Taylor series）的雏形：把光滑函数在某点附近写成幂级数，只取前几项作近似。二项式定理放宽到任意实数指数后（广义二项式定理，binomial series），同一形式给出 $(1+x)^\alpha$ 的展开，是估算 $\sqrt (1+x) \approx 1 + x/2$ 、相对论因子等的基础工具。误差随保留项数增加而按 x 的更高次幂衰减，故仅在 |x| 较小时才可靠。

2 · 相关链接

Binomial approximation — Wikipedia · en.wikipedia.org—— $(1+x)^n \approx 1 + nx$ 的适用条件与误差界。
Binomial series — Wikipedia · en.wikipedia.org——任意实数指数的广义二项式展开 $(1+x)^\alpha$ 。