数学 / 排列组合 · 从计数原理到 P(n,k) 与 C(n,k) / 线性近似 待审核 11 / 25
linear approximation · (1+x)ⁿ ≈ 1 + nx

线性近似

把 (1+x)n(1+x)^n 按二项式定理展开：

(1+x)n=1+nx+C(n, 2) x2+C(n, 3) x3+⋯(1+x)^n = 1 + n x + C(n,\, 2)\, x^2 + C(n,\, 3)\, x^3 + \cdots

当 xx 很小时，x2x^2 及更高次项是小量的小量，量级迅速衰减，可以丢弃。只保留前一两项就得到工程上极常用的线性近似 (1+x)n≈1+nx(1+x)^n \approx 1 + n x，误差主项是被丢掉的 C(n,2) x2C(n, 2)\, x^2，随 xx 平方衰减。

1 · 丢掉高次项之后的误差

linear approximation · (1+x)ⁿ ≈ 1 + n·x
图 1-1 · 精确值 (1+x)n(1+x)^n、一阶近似 1+nx1 + nx 与二阶近似 1+nx+C(n,2)x21 + nx + C(n,2)x^2 三者的对照。可拖动 nn 与 xx，观察 xx 越接近 00 近似越准，补上二阶项后剩余误差再降一个量级。

这正是泰勒展开（Taylor series）的雏形：把光滑函数在某点附近写成幂级数，只取前几项作近似。二项式定理放宽到任意实数指数之后即广义二项式定理（binomial series），同一形式给出 (1+x)α(1+x)^\alpha 的展开，是估算 1+x≈1+x/2\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2、相对论因子等的基础工具。误差随保留项数增加而按 xx 的更高次幂衰减，故仅在 ∣x∣|x| 较小时才可靠。

2 · 参考文献

  1. Binomial approximation. Wikipedia. (1+x)n≈1+nx(1+x)^n \approx 1 + nx 的适用条件与误差界。https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_approximation
  2. Binomial series. Wikipedia. 任意实数指数的广义二项式展开 (1+x)α(1+x)^\alpha。https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_series