binomial distribution · P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·qⁿ⁻ᵏ

二项分布：(p+q)ⁿ 的每一项都是一个概率

抛一枚正面概率为 p 的硬币 n 次，恰好出现 k 次正面的概率是 $C(n, k)\cdot p^k\cdot q^{n-k}$ （记 $q = 1 - p$ ）——这正是二项式定理里 $(p+q)^n$ 展开式的第 k 项。系数 C(n, k) 数的是「n 次里哪 k 次为正面」的位置数， $p^k\cdot q^{n-k}$ 是其中任一种具体结果的概率，两者相乘即该次数的总概率。这一族概率 P(X = k) 就是二项分布(binomial distribution)。

1 · 每根柱 = 展开式的一项

binomial distribution · P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·qⁿ⁻ᵏ

拖动 n 与 p，柱状图给出每个 k（0 到 n）的概率 P(X = k)。点击任一根柱看它对应展开式的哪一项；绿色柱标出概率最大的最可能次数。所有柱的高度相加恒为 1，因为它就是 $(p+q)^n = (p + 1 - p)^n = 1$ 。

分布的形状由 p 决定：p = 0.5 时左右对称（系数就是对称的 Pascal 行）；p 偏离 0.5 则整体向一侧倾斜。峰所在的最可能次数约在 $n\cdot p$ 附近，而期望 $E[X] = n\cdot p$ 恰好是「每次贡献 p、共 n 次」的线性叠加。

2 · 相关链接

Binomial distribution — Wikipedia · en.wikipedia.org——二项分布的定义、期望与方差，及与二项式定理的关系。
Binomial theorem — Wikipedia · en.wikipedia.org—— $(a+b)^n$ 的展开与二项式系数 C(n, k)。