binomial distribution · P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·qⁿ⁻ᵏ

二项分布

抛一枚正面概率为 $p$ 的硬币 $n$ 次，恰好出现 $k$ 次正面的概率是

P(X = k) = C(n,\, k)\, p^{k} q^{\,n-k}, \qquad q = 1 - p

这正是二项式定理里 $(p+q)^n$ 展开式的第 $k$ 项：系数 $C(n, k)$ 数的是「 $n$ 次里哪 $k$ 次为正面」的位置数， $p^k q^{n-k}$ 是其中任一种具体结果的概率，两者相乘即该次数的总概率。这一族概率就是二项分布（binomial distribution）。

1 · 每根柱对应展开式的一项

binomial distribution · P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·qⁿ⁻ᵏ

图 1-1 · 二项分布的概率柱状图。可拖动

n

与

p

，点击任一根柱看它对应展开式的哪一项；绿色柱标出概率最大的最可能次数。

所有柱的高度相加恒为 $1$ ，因为它就是 $(p+q)^n = (p + 1 - p)^n = 1$ 。

分布的形状由 $p$ 决定： $p = 0.5$ 时左右对称，系数即对称的 Pascal 行； $p$ 偏离 $0.5$ 则整体向一侧倾斜。峰所在的最可能次数在 $np$ 附近，取 $\lfloor (n+1)p \rfloor$ ；而期望 $E[X] = np$ 恰是「每次贡献 $p$ 、共 $n$ 次」的线性叠加。

2 · 参考文献

Binomial distribution. Wikipedia. 二项分布的定义、期望与方差，及与二项式定理的关系。https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution
Binomial theorem. Wikipedia. $(a+b)^n$ 的展开与二项式系数。https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem