with replacement · nᵏ / C(n+k−1, k)

可重复选取：取时放回

还有一种「重复」的来路：源仍是 n 个不同的类型，但每次取完放回——可以反复取同一个。此时次序算不算数，给出两个不同的公式：有序是 $n^k$ ，无序是 $C(n+k-1, k)$ （隔板法 stars and bars）。它俩正好补齐「四种取样模型」里剩下的两格。

1 · 放回地取 k 个：有序 nᵏ 与无序 C(n+k−1, k)

with replacement · nᵏ / C(n+k−1, k)

拖动类型数 n 与取的个数 k。有序时，每一格都独立地从全部 n 个类型里选一个（允许和别的格相同），k 格相乘得 $n^k$ 。无序时只看每种类型各取了几个，用隔板法数成 $C(n+k-1, k)$ 。

**隔板法怎么来的。**把要取的 k 个想成 k 颗 ★，另拿 $n-1$ 根 │ 把它们隔成 n 段，第 i 段里的星数就是第 i 种类型取的个数（可以是 0）。这样每一种「无序可放回的取法」都唯一对应一排 ★ 与 │；总长 $k + (n-1)$ ，只需选哪些位置放隔板，即 $C(n+k-1, n-1) = C(n+k-1, k)$ 。

2 · 四种取样模型：同一张表里看清

「从 n 个类型里取 k 个」按是否讲次序与是否放回交叉，恰好四种，分别对应四个公式。本系列各占一页或一节：

次序	放回	方案数	本系列
有序	不放回	P(n, k) = n! / (n−k)!	排列
有序	可放回	nᵏ	本页 · 上半区
无序	不放回	C(n, k)	组合
无序	可放回	C(n+k−1, k)	本页 · 下半区

注意这四种都建立在 n 个不同类型之上，只是取法不同。它和多重集排列是两个维度的问题：多重集说的是源自带相同元素（排全部、要除掉同组互换），这里说的是取的过程能否重复与讲不讲次序。

3 · 相关链接

Combinations with repetition — Wikipedia · en.wikipedia.org——可重复组合 $C(n+k-1, k)$ 的推导。
Stars and bars — Wikipedia · en.wikipedia.org——隔板法：把「分配 / 取样」化归成「排 ★ 与 │」。