可重复选取

还有一种「重复」的来路：源仍是 $n$ 个不同的类型，但每次取完放回，可以反复取同一个。此时次序算不算数给出两个不同的公式，有序是 $n^k$，无序是 $C(n+k-1, k)$，后者由隔板法（stars and bars）给出。它俩正好补齐四种取样模型里剩下的两格。

1 · 有序与无序的两个公式

有序时每一格都独立地从全部 $n$ 个类型里选一个，允许与别的格相同，$k$ 格相乘得 $n^k$。无序时只看每种类型各取了几个，用隔板法数成 $C(n+k-1, k)$。

隔板法的构造是这样的。把要取的 $k$ 个想成 $k$ 颗星，另拿 $n-1$ 根竖线把它们隔成 $n$ 段，第 $i$ 段里的星数就是第 $i$ 种类型取的个数，可以是 $0$。于是每一种「无序可放回的取法」都唯一对应一排星与竖线；总长为 $k + (n-1)$，只需选哪些位置放隔板：

2 · 四种取样模型

「从 $n$ 个类型里取 $k$ 个」按是否讲次序与是否放回交叉，恰好四种：

这四种都建立在 $n$ 个不同类型之上，只是取法不同。它与多重集排列是两个维度的问题：多重集说的是源自带相同元素，要排全部且须除掉同组互换；本页说的是取的过程能否重复、讲不讲次序。

3 · 参考文献

1. Combinations with repetition. Wikipedia. 可重复组合 $C(n+k-1, k)$ 的推导。https://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_combinations_with_repetition
2. Stars and bars. Wikipedia. 隔板法：把分配与取样化归成排星与竖线。https://en.wikipedia.org/wiki/Stars_and_bars_(combinatorics)