a + bi

复数的概念与复平面

实数集里 $x^2 = -1$ 无解：任何实数的平方都不是负数。补上一个平方为 $-1$ 的新数，方程有了解，数集也随之扩大一轮。本页交代这个新数的写法、复数相等的判据，以及它在平面上的位置。

1 · 虚数单位与复数的形式

定义 1.1（复数） 引入虚数单位 $i$ ，规定 $i^2 = -1$ ，且它与实数一起服从原有的加法与乘法运算律。形如 $a + bi$ （ $a, b \in \mathbb{R}$ ）的数叫做复数，全体复数记作 $\mathbb{C}$ 。其中 $a$ 是实部，记作 $\operatorname{Re} z$ ； $b$ 是虚部，记作 $\operatorname{Im} z$ 。

虚部是实数 $b$ 而不是 $bi$ ——这一点在「虚部为多少」的问法里最容易答错。按虚部是否为零，复数分成两类： $b = 0$ 时 $a + bi$ 就是实数 $a$ ， $b \ne 0$ 时叫虚数，其中 $a = 0$ 的那些叫纯虚数。实数集是复数集的真子集，扩充没有丢掉任何旧的数。

图 1-1 · 复平面上的复数、它的实部虚部投影与共轭。可调 z 与 w 的实部虚部观察类别与相等判据的变化，另可显示相反数。

2 · 相等的两个实数方程

两个复数相等，指实部与虚部同时相等： $a + bi = c + di$ 当且仅当 $a = c$ 且 $b = d$ 。一个复数等式因此抵两个实数方程，这是含参数的题目里能列出两条方程的来源。

例 2.1 设 $x, y$ 为实数，且 $(x + 2y) + (x - y)i = 3 - 6i$ 。分别令实部与虚部相等得 $x + 2y = 3$ 与 $x - y = -6$ ，解出 $x = -3$ 、 $y = 3$ 。回代验算：实部 $-3 + 6 = 3$ ，虚部 $-3 - 3 = -6$ 。

「同时相等」这条在浮点实现里立刻显出分量。同一个 $(1 + i)^2$ 走展开式得到 0 + 2i，走「模相乘、辐角相加」得到的实部是 1.2246467991473535e-16、虚部是 2.0000000000000004——两者数学上是同一个数，re === 0 一条为真一条为假。核心模块的判等按数值比差、带容差，而不用 ===。

另一处更细：conj 把虚部取反后， $3 + 0i$ 的共轭的虚部是 -0。-0 === 0 为真，所以按数值比差没有问题；若图省事换成 Object.is，它会判 -0 与 0 不等，于是 $3$ 与它自己的共轭成了两个不同的复数。判等的口径一旦选错，错的不是精度而是结论。

3 · 复平面与共轭

取一个直角坐标系，把 $a + bi$ 摆在点 $(a, b)$ 处，横轴上的点全是实数、纵轴上除原点外全是纯虚数。这样的平面叫做复平面，横轴称实轴、纵轴称虚轴。复数、平面上的点、以原点为起点的向量三者一一对应，向量那一层解释了为什么复数的加减法与向量的加减法长得一样（见四则运算与 i 的幂 §1）。

定义 3.1（共轭复数） $z = a + bi$ 的共轭是 $\bar z = a - bi$ 。它与 $z$ 关于实轴对称：实部相同，虚部相反。

共轭给出一个好用的判据： $z = \bar z$ 当且仅当 $z$ 是实数——虚部与它的相反数相等，只能是零。相反数 $-z = -a - bi$ 则与 $z$ 关于原点对称，这两个对称不要混。共轭在运算里的地位见四则运算与 i 的幂 §4，几何量见模与距离给出的轨迹 §1。

4 · 序关系在复数集上的缺失

实数集上的序与运算相容： $a < b$ 蕴含 $a + c < b + c$ ，且正数相乘仍为正。复数集上装不出这样的序。

注 · 假设 $\mathbb{C}$ 上有一个与运算相容的序。若 $i > 0$ ，两边乘 $i$ 得 $i^2 > 0$ ，即 $-1 > 0$ ；若 $i < 0$ ，则 $-i > 0$ ，两边乘 $-i$ 同样得 $-1 > 0$ 。 $i \ne 0$ ，两种情形都矛盾，故这样的序不存在。

所以「哪个复数更大」这句话没有意义，题目里能排序的一律是模、实部这类实数。核心模块据此不提供任何 lt 与 gt：类型上就不给出这条路，免得写出一个看似合理却无定义的比较。

5 · 参考文献

Complex number. Wikipedia. 复数的定义、表示形式与基本运算。https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number
Imaginary unit. Wikipedia. 虚数单位的引入与它的性质。https://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit
Complex plane. Wikipedia. 复平面与复数、点、向量的对应。https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_plane
Complex conjugate. Wikipedia. 共轭复数的定义与几何意义。https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate
Field (mathematics). Wikipedia. 域的公理，以及复数域不是有序域这件事。https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)