i² = −1

四则运算与 i 的幂

复数的四则运算只有一条新规则： $i^2 = -1$ 。其余照多项式运算做，把 $i$ 当字母处理，遇到 $i^2$ 就换成 $-1$ 。本页依次给出四种运算的形式与几何对应，并交代除法为何要先给分母乘上共轭。

1 · 加减法与向量的对应

加减法逐部进行：

(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i

这与向量按坐标相加减是同一个式子，故复平面上 $z + w$ 落在以 $z$ 、 $w$ 为邻边的平行四边形的第四个顶点上， $z - w$ 则对应从 $w$ 指向 $z$ 的那条向量，它与从原点出发的 $z - w$ 平行且等长。差的这条对应关系是几何应用的入口：两点间的距离就是 $|z - w|$ （见模与距离给出的轨迹 §3）。

图 1-1 · 四则运算与 i 的幂。可切换运算并调 z 与 w 的实部虚部，读数给出两条算路的结果与它们的差值。

2 · 乘法的展开式与极坐标路径

按分配律展开再用 $i^2 = -1$ 收拢：

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

同一个乘法还有另一条算路：模相乘、辐角相加（见三角形式与乘法的旋转 §2）。两条路径在数学上是同一个函数，在浮点下不是同一串位。 $(2 + 3i)(4 + 5i)$ 的展开式给 $-7 + 22i$ ，极坐标路径给的实部是 -6.9999999999999964。20 万组随机取值（实部与虚部都落在 $-10$ 到 $10$ 之间）下，两条路径的绝对偏差最大 8.53e-14、相对偏差最大 9.47e-16，即几个 ulp 的量级。

这个量级恰好使两条路径互为对照：核心模块的单测拿它们互验，谁都不是「把被测公式抄一遍」。若某天展开式写错一个符号，随机取值下的偏差会立刻从 1e-16 跳到 1e0 量级，而不是悄悄通过。

3 · i 的幂的周期

$i^1 = i$ 、 $i^2 = -1$ 、 $i^3 = -i$ 、 $i^4 = 1$ ，此后循环。指数除以 $4$ 的余数决定值，四个连续幂之和恒为零： $i^n + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3} = 0$ 。这条常用来一口气消掉长求和里的大部分项。

实现按余数查表，而不用 $\cos(n\pi/2)$ 与 $\sin(n\pi/2)$ 。后者从 $n = 1$ 起就不精确：Math.cos(Math.PI / 2) 是 6.123233995736766e-17 而非 0，到 $n = 8$ 时虚部的偏差已是 -4.898587196589413e-16，误差随 $n$ 线性累积。查表则逐个精确，且负指数也走同一张表：(n % 4 + 4) % 4 把 JS 的余数符号归一之后， $i^{-1} = -i$ 与 $i^3$ 落到同一格。

注 · 用重复相乘算 $i$ 的幂同样精确，但会带出一个负零： $i^3$ 由 $(-1 + 0i) \cdot i$ 得到，实部是 $-1 \times 0 - 0 \times 1$ ，在 IEEE 754 下是 -0。查表给的是 +0。单测里用 toEqual 深比较这两个结果会失败，改按差值比对才通过——判等的坑不在虚部，在那个看不见的符号位。

4 · 除法与分母实数化

除法的目标是把结果写回 $a + bi$ 的形式，而分母带 $i$ 时办不到。给分子分母同乘分母的共轭，分母变成实数 $|w|^2$ ：

\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

这一步叫分母实数化，与实数里根式分母有理化是同一个套路。

例 4.1 计算 $\dfrac{3 + 4i}{1 + 2i}$ 。分子分母同乘 $1 - 2i$ ：分子 $(3 + 4i)(1 - 2i) = 3 - 6i + 4i + 8 = 11 - 2i$ ，分母 $1^2 + 2^2 = 5$ ，故商为 $2.2 - 0.4i$ 。

另一条算路是先求倒数 $w^{-1} = \bar w / |w|^2$ 再相乘。它与分母实数化的差别只在做除法的时机，20 万组随机取值下最大相对偏差 2.70e-16。落到例 4.1 这个数上，分母实数化给的虚部是 -0.4，乘倒数给 -0.40000000000000013——=== -0.4 一条为真一条为假。两条路径同样在单测里互验，另加一条闭合检验：商乘回除数应得被除数。

零仍然不能作除数，也没有倒数。实现在 $|w| = 0$ 时返回空值，而不是让 Infinity 流进后续计算——一旦流出去，画板上得到的是 NaN 坐标，报错点离病因很远。

5 · 共轭的运算律

共轭与四则运算可交换次序：

\overline{z \pm w} = \bar z \pm \bar w, \qquad \overline{zw} = \bar z \cdot \bar w, \qquad \overline{z / w} = \bar z / \bar w

三条都由定义直接展开可得，单测也就按定义展开去验，而不是引用另一条公式。另有两个常用等式： $z \bar z = |z|^2$ 是实数， $z + \bar z = 2 \operatorname{Re} z$ 。前者是分母实数化那一步的实质，后者常用来把「实部为某值」的条件写成不含实部记号的形式。

6 · 参考文献

Complex number. Wikipedia. 四则运算的定义与运算律。https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number
Complex conjugate. Wikipedia. 共轭的运算律与它在除法里的用处。https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate
Complex Multiplication. Wolfram MathWorld. 乘法的展开式与极坐标写法。https://mathworld.wolfram.com/ComplexMultiplication.html
Imaginary unit. Wikipedia. i 的幂的周期。https://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit