|z − z₀| = r

模与距离给出的轨迹

复数的加减法已经与向量对上（见四则运算与 i 的幂 §1），还缺一个长度。模补上这一项：它把「距离」这个几何量交给代数，于是一批轨迹问题可以只用一个绝对值记号写出来。

1 · 模的定义与几何意义

定义 1.1（模） $z = a + bi$ 的模是 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ ，即 $z$ 对应的点到原点的距离，也是对应向量的长度。

模是非负实数， $|z| = 0$ 当且仅当 $z = 0$ 。它与共轭的关系是 $z \bar z = |z|^2$ ，这一条把开方去掉了：比较两个模的大小时用 $|z|^2$ 更省事，也更准。

实现里 $|z|$ 走 Math.hypot 而不是 Math.sqrt(a * a + b * b)。原因在两端： $a = b = 10^{200}$ 时 $a^2$ 溢出成 Infinity，开方仍是 Infinity，而 Math.hypot 给 1.414213562373095e200； $a = b = 10^{-200}$ 时 $a^2$ 下溢成 0，开方得 0，而 Math.hypot 给 1.414213562373095e-200。高中题目撞不到这两端，选 hypot 的理由是别的：读数面板上一个 Infinity 或一个 0 会让人以为算法错了，而病根在中间那步平方。

2 · 乘法性与三角不等式

模与乘除相容： $|zw| = |z| \cdot |w|$ ， $|z / w| = |z| / |w|$ （ $w \ne 0$ ）。加法则只有不等式。

定理 2.1（三角不等式） 对任意复数 $z$ 、 $w$ ，有 $|z + w| \le |z| + |w|$ ，等号当且仅当 $z$ 与 $w$ 同向（其中之一为零，或 $w = kz$ 且 $k > 0$ ）时成立。另有下界 $|z - w| \ge \big| |z| - |w| \big|$ 。

证明把两个复数看作向量。 $|z + w|$ 是三角形第三边的长度， $|z|$ 与 $|w|$ 是另两边，两边之和不小于第三边即得上界；三点共线且方向相同时三角形退化成一条线段，此时取等。下界由上界改写而来： $|z| = |(z - w) + w| \le |z - w| + |w|$ ，移项得 $|z| - |w| \le |z - w|$ ， $z$ 与 $w$ 互换再取两式的较大者即可。∎

单测按定义验这条不等式：20 万组随机取值下 $|z + w| > |z| + |w|$ 一次也没出现，取等的那批用 $w = kz$ 构造（ $k$ 取 $\sqrt 2$ 这类无理数时差值仍为 0）。这类测试不比对某个公式的返回值，只比对两个量的大小关系，因此它能兼查实现与推导。

3 · 距离条件给出的轨迹

$|z - z_0|$ 是两点间的距离，因为 $z - z_0$ 对应从 $z_0$ 指向 $z$ 的向量。距离条件可直接翻译成轨迹：

表 3-1 · 三种距离条件、它们的轨迹与退化情形。
条件	轨迹	退化情形
$\lvert z - z_0 \rvert = r$	以 $z_0$ 为心、 $r$ 为半径的圆	$r = 0$ 时是一个点， $r < 0$ 时是空集
$\lvert z - z_0 \rvert \le r$	圆盘（含边界）	同上
$\lvert z - z_1 \rvert = \lvert z - z_2 \rvert$	线段 $z_1 z_2$ 的中垂线	$z_1 = z_2$ 时是整个平面

第三行值得算一遍。两边平方并把 $|z - z_1|^2 = (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2$ 展开， $x^2$ 与 $y^2$ 两项在等式两侧同时出现、整体消去，只剩一次式：

2(x_2 - x_1)x + 2(y_2 - y_1)y + (x_1^2 + y_1^2 - x_2^2 - y_2^2) = 0

二次项消失正是「轨迹是直线」的代数表现。 $z_1 = z_2$ 时三个系数同时为零，方程成了 $0 = 0$ ——它不是一条直线，而是整个平面。实现必须为这一支单列出口：照上式返回一条 $A = B = C = 0$ 的「直线」，画板上得到的是一串 NaN 坐标，而 NaN 在 SVG 里只表现为「这条线没画出来」，排查起来比抛错慢得多。

图 3-1 · 距离条件给出的三种轨迹。可切换条件并拖动定点与半径，读数逐点给出取样点到定点的距离与沿轨迹取样的最大偏差。

沿圆取 720 个点逐点验算， $\big| |z - z_0| - r \big|$ 的最大值在 1e-15 量级（ $z_0 = 1.5 - 2i$ 、 $r = 3$ 一档实测 8.882e-16）；中垂线上取 121 个点，两个距离之差最大 3.553e-15（ $z_1 = -2 + i$ 、 $z_2 = 3 + 4i$ 一档；坐标为整数且中点落在网格上的那几档差值恰为 0）。单测的容差据此取 1e-14 与 1e-13，比实测量级宽一个数量级——留出余量，但不至于宽到放过真正的错误。

4 · 距离之和与距离之差

同一套翻译再往下走一步就出圆锥曲线。 $|z - z_1| + |z - z_2| = 2a$ （ $2a$ 大于两定点的距离）是以 $z_1$ 、 $z_2$ 为焦点的椭圆， $\big| |z - z_1| - |z - z_2| \big| = 2a$ （ $2a$ 小于两定点的距离）是双曲线。两条定义与它们的标准方程见椭圆的定义与标准方程与双曲线与渐近线。

复数记号在这类问题上的价值在于条件的形式与几何意义贴得更近：一个绝对值就是一段距离，等式左边有几个绝对值，就有几段距离参与约束。

5 · 参考文献

Absolute value. Wikipedia. 绝对值与复数的模，含它的乘法性。https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_value
Triangle inequality. Wikipedia. 三角不等式及其取等条件。https://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_inequality
Locus (mathematics). Wikipedia. 轨迹的定义：满足给定条件的点集。https://en.wikipedia.org/wiki/Locus_(mathematics)
Bisection. Wikipedia. 中垂线的定义与它的等距刻画。https://en.wikipedia.org/wiki/Bisection
Math.hypot(). MDN. hypot 的定义，以及它对溢出与下溢的处理。https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/JavaScript/Reference/Global_Objects/Math/hypot