e < 1 · = 1 · > 1

离心率与三族的统一定义

椭圆、双曲线、抛物线各有一套定义，看上去互不相干。离心率把三者接上：到焦点的距离与到准线的距离之比恒为常数 $e$ ， $e$ 落在哪一段就是哪一族曲线。

1 · 离心率的两种读法

对椭圆与双曲线， $e = \frac{c}{a}$ ：焦距与长轴长之比。椭圆的 $c < a$ 故 $0 \le e < 1$ ；双曲线的 $c > a$ 故 $e > 1$ ；抛物线约定 $e = 1$ 。

这个比值刻画的是「形状」而非「大小」：把整条曲线按同一比例放大， $a$ 与 $c$ 同倍增长， $e$ 不变。椭圆的 $e$ 越接近 $1$ 越扁，越接近 $0$ 越圆；双曲线的 $e$ 越大，两支张得越开（渐近线的斜率 $\frac{b}{a} = \sqrt{e^2 - 1}$ 随之增大）。

$e$	曲线	焦点数	准线数	与 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的关系
$0$	圆	$1$ （中心）	无（退到无穷远）	$c = 0$
$0 < e < 1$	椭圆	$2$	$2$	$a^2 = b^2 + c^2$
$1$	抛物线	$1$	$1$	只有 $p$
$e > 1$	双曲线	$2$	$2$	$c^2 = a^2 + b^2$

2 · 以焦点与准线给出的统一定义

定理 2.1 给定一点 $F$ 、一条不过 $F$ 的直线 $l$ 与一个正数 $e$ ，则满足 $\frac{|PF|}{d(P, l)} = e$ 的点 $P$ 的轨迹是： $e < 1$ 时椭圆， $e = 1$ 时抛物线， $e > 1$ 时双曲线。 $F$ 是焦点， $l$ 是准线。

椭圆与双曲线的准线在标准位置下是 $x = \pm\frac{a}{e}$ ，即 $x = \pm\frac{a^2}{c}$ 。抛物线的定义式 $\frac{|PF|}{d} = 1$ 就是定理 2.1 取 $e = 1$ 的情形，前一节的定义并非另一套，而是这一套的一个取值。

圆是 $e = 0$ 的极限：准线退到无穷远（ $\frac{a}{e}$ 的分母趋于零），比值定义随之失效，所以圆通常单列。实现里把 $e = 0$ 的准线列表置空，而不是让 $\pm\infty$ 流进后续计算。

3 · 极坐标下的一个方程

以焦点为极点，三族共用同一个方程：

r = \frac{l}{1 + e\cos\theta}

其中 $l$ 是半通径。对应的准线是 $x = \frac{l}{e}$ ：把 $r = e\left(\frac{l}{e} - r\cos\theta\right)$ 整理即得上式，故曲线上每点都满足定理 2.1 的比值条件。

$e$ 连续变化时这个方程画出的曲线连续变形： $e < 1$ 时 $\theta$ 走满一圈得到闭合的椭圆； $e = 1$ 时分母在 $\theta = 180°$ 处为零，曲线在那个方向上跑向无穷，闭不上，成为抛物线； $e > 1$ 时分母在两个 $\theta$ 处为零，那两个方向就是渐近方向，曲线断成一支。三族的分野因此不是三套定义，而是同一个式子里分母何时取零。

图 3-1 · 同一个极坐标方程随

e

变形。可拖动

e

越过

1

观察闭合曲线如何裂开，读数给出当前点的两段距离与它们的比值。

4 · 取点时必须跳过的那些角

$e \ge 1$ 时分母 $1 + e\cos\theta$ 在某些 $\theta$ 处为零， $r$ 在那里无界。数值实现有三处要处理：

其一，分母接近零时不能照算。 $\left|1 + e\cos\theta\right| < 10^{-6}$ 时 polarPoint 返回 null，由调用方跳过——照算会得到 $10^6$ 量级的坐标，连线时在画布上留下一道横贯全图的直线。

其二， $r < 0$ 的角要丢掉。 $e > 1$ 时分母在一段角区间内为负，算出的 $r$ 为负，对应的点落在极点另一侧——那是另一支上的点，且极角与实际方向相差 $180°$ 。本页只画一支，故直接丢弃。

其三，断开处必须真的断开路径。把跳过的角当作「不存在的点」而继续同一条路径，两侧的点就会被一条线段连起来。polarPaths 因此返回多段，每段各自成一条路径。

注 · 这三条都不是抛物线 / 双曲线特有的麻烦，而是「用极坐标画无界曲线」的通例。同样的处理出现在双曲线的两支上（见双曲线与渐近线 §3）：两支若合成一条路径，画出来就是两支之间凭空多一根连线。

5 · 参考文献

Eccentricity (mathematics). Wikipedia. 离心率的定义与三族的对应。https://en.wikipedia.org/wiki/Eccentricity_(mathematics)
Conic section. Wikipedia. 以焦点与准线给出的统一定义，及极坐标方程。https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section
Directrix. Wolfram MathWorld. 准线的位置与 $x = \pm a/e$ 的来历。https://mathworld.wolfram.com/ConicSectionDirectrix.html