焦半径、通径与焦点弦

过焦点的弦在三族里都有专门的公式，来历都是定义：椭圆的两条焦半径之和是定值，双曲线的差是定值，抛物线的焦半径可以换成横坐标。通径是这一族弦里最短的那条，也是标准方程里三个参数的另一种读法。

1 · 焦半径

椭圆上点 $P(x_0, y_0)$ 到两焦点的距离为

两式相加即得定义里的 $r_1 + r_2 = 2a$，相减给出 $r_1 - r_2 = 2ex_0$。双曲线的写法只差符号：$r = |a \pm ex_0|$。抛物线最简，$|PF| = x_0 + \frac{p}{2}$。

三条式子的共同点是把「两点间的距离」换成了「横坐标的一次式」，这是离心率统一定义的直接后果：$|PF| = e \cdot d(P, l)$，而到竖直准线的距离本来就是横坐标的一次式。

2 · 通径

过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径。把 $x = c$ 代入椭圆方程：

双曲线同式（$x = c$ 代入 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 得同样的 $\frac{2b^2}{a}$），抛物线的通径长是 $2p$。三族的通径长都等于半通径的两倍，而半通径正是极坐标方程 $r = \frac{l}{1 + e\cos\theta}$ 里的 $l$（取 $\theta = 90°$ 即得 $r = l$）。

3 · 抛物线的焦点弦

过抛物线焦点、倾斜角为 $\theta$ 的弦长有闭式：

$\theta = 90°$ 时 $\sin^2\theta = 1$，弦长取到最小值 $2p$——通径是最短的焦点弦。$\theta \to 0$ 时弦趋于与对称轴平行，弦长无界；$\theta = 0$ 那条线与抛物线只有一个公共点（二次项退化，见 直线与圆锥曲线的联立 §3），已不是弦。

4 · θ = 90° 那条弦写不成 y = k(x − p/2)

上面的公式对 $\theta = 90°$ 给出 $2p$，而若按「设弦为 $y = k(x - \frac{p}{2})$ 再联立」的路子去算这一条，会撞上一处浮点陷阱。

$k = \tan 90°$ 在双精度里不是 Infinity 而是 $1.633 \times 10^{16}$（$\frac{\pi}{2}$ 无法精确表示）。把它代入联立后的二次方程：二次项系数 $k^2 \approx 2.67 \times 10^{32}$，常数项 $\left(\frac{kp}{2}\right)^2$ 同为 $2.67 \times 10^{32}$，判别式 $b^2 - 4ac$ 是两个 $2.85 \times 10^{65}$ 量级的数相减——有效数字全部抵消，算出的判别式落在零附近，分类结果变成「相切」。

单测里两条并列钉住这件事：用 $k = \tan(\frac{\pi}{2})$ 构造的那条线被判成 tangent，而直接用一般式写的竖直线 $x = \frac{p}{2}$ 得到两个交点、弦长恰为 $2p$。教训不在于「浮点不可靠」，而在于参数化的选择决定了哪些情形会退化：斜率参数化把竖直线推到了参数的无穷远处，而一般式里它只是 $B = 0$ 的一个普通取值。这与 直线与圆 一节「内部统一用一般式」是同一个理由。

5 · 参考文献

1. Parabola. Wolfram MathWorld. 抛物线的焦点弦、通径与各项参数。https://mathworld.wolfram.com/Parabola.html
2. Semi-latus rectum. Wikipedia. 半通径与三族参数的统一关系。https://en.wikipedia.org/wiki/Semi-latus_rectum
3. Loss of significance. Wikipedia. 判别式相消的一般机制。https://en.wikipedia.org/wiki/Loss_of_significance