到焦点 = 到准线

抛物线的焦点与准线

椭圆与双曲线都由「到两个定点的距离」定义，抛物线换了一套：到一个定点与一条定直线的距离相等。定点是焦点，定直线是准线，而这个「相等」正是离心率为 $1$ 的写法。

1 · 定义

定义 1.1（抛物线） 平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$ （ $F \notin l$ ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点是焦点，定直线是准线。

$F$ 必须不在 $l$ 上。若 $F \in l$ ，则「到点的距离等于到线的距离」的轨迹是过 $F$ 且垂直于 $l$ 的一条直线，不是抛物线。

顶点是焦点到准线的垂线段的中点：那里到两者的距离都是 $\frac{p}{2}$ 。

2 · 标准方程与 p 的三重身份

取顶点在原点、焦点在 $x$ 轴正半轴，设焦点到准线的距离为 $p$ ，则

y^2 = 2px \quad (p > 0), \qquad F\left(\frac{p}{2}, 0\right), \qquad l: x = -\frac{p}{2}

$p$ 在这一族里有三重身份：它是焦准距（焦点到准线的距离）， $\frac{p}{2}$ 是焦点的横坐标（也是准线到顶点的距离），而 $2p$ 是通径长。三者都由同一个 $p$ 决定，题目给出其中任何一个都能定出方程。

四种开口方向对应四个方程： $y^2 = 2px$ （右）、 $y^2 = -2px$ （左）、 $x^2 = 2py$ （上）、 $x^2 = -2py$ （下）。判据是「一次项跟着谁，开口就沿哪个轴；一次项的符号决定朝哪一边」。

图 2-1 · 抛物线上一点到焦点与到准线的两段距离。可调

p

与点的位置，读数给出两段距离与它们的差，后者恒为零。

3 · 焦半径与焦点弦

由定义，抛物线上点 $P(x_0, y_0)$ 到焦点的距离等于它到准线的距离：

|PF| = x_0 + \frac{p}{2}

这条式子把「求距离」换成了「读横坐标」，是抛物线一族最常用的化简。过焦点的弦 $AB$ 因此有 $|AB| = x_1 + x_2 + p$ ：两条焦半径相加，两个 $\frac{p}{2}$ 合成一个 $p$ 。

例 3.1 抛物线 $y^2 = 4x$ （即 $p = 2$ ）上一点到焦点的距离为 $5$ ，求该点坐标。 $|PF| = x_0 + 1 = 5$ 给出 $x_0 = 4$ ，代回方程得 $y_0 = \pm 4$ 。两点 $(4, 4)$ 与 $(4, -4)$ 都满足。

4 · 取点为什么按 y 而不按 x

绘制 $y^2 = 2px$ 时按横坐标均匀取样会在顶点处露出一个尖角。原因是顶点处的切线竖直， $\frac{dy}{dx}$ 无界：实测 $y^2 = 2x$ 在 $[0, 8]$ 上按 $x$ 取十三个点，对应的 $y$ 是 $0, 1.15, 1.63, 2.00, 2.31, \dots$ ——首段就从 $0$ 跳到 $1.15$ ，而末段只从 $3.83$ 走到 $4.00$ 。同样十三个点按 $y$ 均匀取， $x = \frac{y^2}{2}$ 给出 $8, 5.56, 3.56, 2.00, 0.89, 0.22, 0, 0.22, \dots$ ，两侧对称且顶点处平滑。

curvePaths 因此对抛物线按 $y$ 取样。这不是画得好不好看的问题：按 $x$ 取样时顶点附近的采样密度恰好在曲率最大处最低，折线与真实曲线的偏差也在那里最大。同一支曲线换一个参数就消失的问题，值得在实现里留一条注。

5 · 参考文献

Parabola. Wikipedia. 抛物线的定义、标准方程与焦点准线性质。https://en.wikipedia.org/wiki/Parabola
Conic section. Wikipedia. 三族曲线的统一来源与焦点准线定义。https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section
Semi-latus rectum. Wikipedia. 通径与半通径，及其在三族中的统一含义。https://en.wikipedia.org/wiki/Semi-latus_rectum