直线与圆锥曲线的联立

直线与圆锥曲线的题目几乎都从联立开始：把直线方程代入曲线方程消去一个变量，得到一元二次方程。此后的信息都从这个方程里读：判别式给公共点个数，韦达定理给弦长与中点，而二次项系数本身给出一类容易漏掉的情形。

1 · 联立与判别式

以椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 与直线 $y = kx + m$ 为例，代入消 $y$：

$\Delta > 0$、$= 0$、$< 0$ 分别对应两个、一个、零个公共点。这一步与 直线与圆 那边的做法并列：圆可以用「圆心到直线的距离与半径比较」绕开联立，而椭圆没有这种半径，联立是常规路线。

竖直线 $x = x_0$ 要单独写：它的斜率不存在，代入时消去的是 $x$ 而不是 $y$，得到关于 $y$ 的方程。lineConic 按直线一般式的 $B$ 是否为零分这两支，两支之外没有别的情形。

2 · 弦长与韦达定理

设两个公共点为 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$。$y_i = kx_i + m$ 给出 $y_1 - y_2 = k(x_1 - x_2)$，从而

而 $|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2}$ 可由韦达定理直接从系数算出，无须解出两个根。竖直弦的 $k$ 不存在，改用 $|AB| = |y_1 - y_2|$。

3 · 二次项系数为零：一个公共点而不相切

联立后二次项的系数并非总不为零。它为零时方程退化成一次，恰有一个根，此时直线与曲线只有一个公共点，但这不是相切。

三族各有这样一族直线：双曲线是与渐近线平行的直线（系数 $\frac{1}{a^2} - \frac{k^2}{b^2}$ 在 $k = \pm\frac{b}{a}$ 处为零），抛物线是与对称轴平行的直线（$y^2 = 2px$ 与 $y = m$ 联立后没有 $x^2$ 项），椭圆则没有，它的系数 $\frac{1}{a^2} + \frac{k^2}{b^2}$ 恒为正，这也是椭圆有界的代数表现。

4 · 中点弦与点差法

已知弦的中点 $(x_0, y_0)$ 求弦所在直线，不必解方程。把两端点代入曲线方程后相减，因式分解出 $x_1 + x_2 = 2x_0$ 与 $y_1 + y_2 = 2y_0$，直接得到斜率：

三式的分母都是 $y_0$。$y_0 = 0$ 意味着中点落在对称轴上，此时弦竖直，而竖直不是「斜率为无穷」，是这条弦没有斜率。实测椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ 取中点 $(2, 0)$，公式给出 $-\infty$；midChordSlope 因此在 $|y_0| < 10^{-9}$ 时返回 null，把这一情形交给调用方按竖直弦处理，而不是让 Infinity 流进后续的直线构造。

点差法还有一处前提容易漏：算出的斜率只在「该中点确实是某条弦的中点」时有意义。椭圆内部的点都满足这一条，而椭圆外部的点不满足——公式照样给出一个数，但它对应的直线与椭圆无交点。单测因此反过来验：先联立求出一条真实的弦，取它的中点代入公式，看得到的斜率是否等于这条弦两端点连线的实际斜率。

5 · 参考文献

1. Vieta's formulas. Wikipedia. 韦达定理，弦长与中点公式的代数基础。https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta%27s_formulas
2. Discriminant. Wikipedia. 判别式与实根个数。https://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant
3. Conic section. Wikipedia. 直线与二次曲线求交的一般处理。https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section