f′ > 0 递增 · f′ < 0 递减

导数的符号与函数的单调性

导数是切线斜率，斜率的正负决定曲线在该点是升还是降。把这个逐点的判断推广到整段区间，就得到求单调区间的通用办法：不必观察图象，也不必两两比较函数值，只需解一个关于 $f'(x)$ 的不等式。

1 · 符号与升降的对应

定理 1.1 设函数 $f$ 在区间 $I$ 上可导。若 $f'(x) > 0$ 对 $I$ 内每个 $x$ 成立，则 $f$ 在 $I$ 上单调递增；若 $f'(x) < 0$ 恒成立，则 $f$ 在 $I$ 上单调递减。

结论的一半可以直接从平均变化率读出： $x_1 < x_2$ 时， $f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1)$ 对某个介于两者之间的 $\xi$ 成立（拉格朗日中值定理），右端两个因子都为正，差就为正。高中教材不证中值定理，把定理 1.1 作为事实给出。

反向的断言要弱一些： $f$ 在 $I$ 上递增只能推出 $f'(x) \ge 0$ ，不能推出 $f'(x) > 0$ 。 $f(x) = x^3$ 在整条实轴上递增，而 $f'(0) = 0$ 。

2 · 求单调区间的步骤

定义域 → 导数 → 解不等式

步骤有固定次序，跳过第一步是最常见的失分点。

先定定义域。 $f(x) = x - \ln x$ 只在 $(0, +\infty)$ 上有定义，所有结论都不得越出这个范围。
求 $f'(x)$ 并因式分解。 $f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ 。
解 $f'(x) > 0$ 与 $f'(x) < 0$ 。在定义域内 $x > 0$ ，故符号由 $x - 1$ 决定： $(0, 1)$ 上为负， $(1, +\infty)$ 上为正。
写出结论： $f$ 在 $(0, 1)$ 上递减，在 $(1, +\infty)$ 上递增。

单调区间必须写成区间，不能写成集合的并。 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(-\infty, 0)$ 与 $(0, +\infty)$ 上分别递减，但它在 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ 上并不递减——取 $x_1 = -1$ 、 $x_2 = 1$ 即 $f(x_1) = -1 < 1 = f(x_2)$ ，函数值随自变量增大而增大。

图 2-1 · 上图是

y = f(x)

并以底色标出升降，下图是导函数

y = f'(x)

，两图共用横轴。可切换函数并拖动参数，观察

f'

的零点如何与底色的分界线对齐。

3 · 孤立零点与区间的合并

$f'(x) = 3x^2$ 在 $x = 0$ 处为零，其余处为正。若按「零点即分界」机械分段，会得到「 $f$ 在 $(-\infty, 0)$ 与 $(0, +\infty)$ 上分别递增」这个偏弱的结论；实际上 $y = x^3$ 在整条实轴上递增，两段应当合并成一段。

导数为零的点只要是孤立的（在它的某个邻域内不再有其他零点），就不影响单调性：函数在这一点处的切线水平，但函数值仍在继续增加。判据因此不是 $f' > 0$ ，而是「 $f' \ge 0$ 且 $f' = 0$ 的点孤立」。

core/calculus.ts 的 signIntervals 按这条口径实现：先用 rootsOf 取出导函数的零点作为切点，每段的符号取中点处的值定，最后把相邻的同号段合并。合并这一步不是性能优化，它就是口径本身—— $y = x^3$ 在 $[-3, 3]$ 上给出的必须是一段而不是两段，单测里专门有一条钉住这件事。

警示 · 零点不孤立时结论确实会变。取 $f'(x) = 0$ 在整个区间上成立，即 $f$ 为常函数，此时它既不递增也不递减。rootsOf 遇到恒零的导函数会给出空表而不是逐个网格点：实测在 $[-3, 3]$ 上按网格报点会得到 2001 个「零点」、耗时 46 毫秒，下游把区间切成两千段更是毫无意义。空表由调用方按「无分界点」处理，得到的也是「无单调区间」这个正确结论。

4 · 含参函数的分类讨论

导数里带参数时，符号的判定要按参数分情形。 $f(x) = x^3 - 3ax$ （ $a$ 为参数）的导数是 $3x^2 - 3a = 3(x^2 - a)$ 。

$a \le 0$ ： $x^2 - a \ge 0$ 恒成立，且等号至多在一点取到， $f$ 在实轴上递增，无极值。
$a > 0$ ：导数有两个零点 $\pm\sqrt{a}$ ， $f$ 在 $(-\infty, -\sqrt{a})$ 与 $(\sqrt{a}, +\infty)$ 上递增，在 $(-\sqrt{a}, \sqrt{a})$ 上递减。

分界发生在 $a = 0$ 处，也就是导函数的两个零点重合的时刻。参数从正往负穿过 $0$ 时，中间那段递减区间收缩成一个点然后消失，这与极值与闭区间上的最值 §3 里「驻点不必是极值点」是同一件事的两种说法。

5 · 参考文献

Monotonic function. Wikipedia. 单调性的定义，以及可导函数的单调性判定。https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function
Mean value theorem. Wikipedia. 拉格朗日中值定理，定理 1.1 的证明依据。https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem
Increasing and decreasing functions. Encyclopedia of Mathematics. 严格单调与 $f' \ge 0$ 的等价条件，含零点孤立性的表述。https://encyclopediaofmath.org/wiki/Increasing_function