数学 / 导数 · 从变化率到极值与不等式 / 极值与闭区间上的最值 待审核 5 / 8
驻点 · 端点 · 变号判别

极值与闭区间上的最值

单调区间的分界处是曲线由升转降或由降转升的地方，函数值在那里取到一个局部的峰或谷。峰谷的高度未必是整段区间上的最高与最低：极值与最值是两个不同的概念，前者只看一点附近，后者要看整个区间。

1 · 极值的局部性

定义 1.1（极值） 设 ff 在 x0x_0 的某个邻域内有定义。若该邻域内每个 xx 都满足 f(x)≤f(x0)f(x) \le f(x_0)，则称 f(x0)f(x_0) 是 ff 的一个极大值，x0x_0 是极大值点；把不等号反向即得极小值与极小值点。极大值与极小值统称极值。

定义里的「某个邻域」把极值锁在局部。f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x 在 x=−1x = -1 处取极大值 22，而 f(3)=18f(3) = 18 比它大得多：一个极大值完全可以小于同一个函数在别处的值，甚至小于同一区间上的某个极小值。

极值点必须是定义域的内点。区间端点处只有一侧有函数值，「邻域内每个 xx」这个要求无从谈起，所以端点不是极值点，但它可以是最值点，这一点在 §4 里就要用到。

2 · 驻点与变号判别

导函数为零的点称为驻点。可导函数的极值点必是驻点：极大值点左侧函数值上升、右侧下降，导数在该点前后由正变负，而可导保证它在该点处连续地取到零。

定理 2.1（变号判别） 设 ff 在 x0x_0 处可导且 f′(x0)=0f'(x_0) = 0。若 f′f' 在 x0x_0 左侧为正、右侧为负，则 f(x0)f(x_0) 是极大值；若左负右正，则是极小值；若两侧同号，则 x0x_0 不是极值点。

判别依据是符号变化，不是导数值本身。core/calculus.ts 的 criticalPoints 照这条实现：先取导函数的零点，再在每个零点左右各取一个探测点看符号。探测半径不取固定值，而是缩到相邻驻点距离的三分之一：x3−3εxx^3 - 3\varepsilon x 在 ε\varepsilon 很小时两个驻点相距只有 2ε2\sqrt{\varepsilon}，固定半径会让左探测点越过零点落进另一侧，判别随之出错。ε=10−6\varepsilon = 10^{-6} 时两个驻点相距 0.0020.002，缩放后的半径为 6.7×10−46.7 \times 10^{-4}，判别仍分别给出极大与极小。

图 2-1 · 闭区间上的候选点与最值。可切换函数、拖动区间两端观察最值在驻点与端点之间转移，并调采样点数与驻点法的结果对照。

3 · 驻点不必是极值点

f(x)=x3f(x) = x^3 的导数 3x23x^2 在 x=0x = 0 处为零，但两侧都为正，函数一路递增，x=0x = 0 既非极大也非极小。驻点只是极值点的候选，判别这一步不能省。

例 3.1 求 f(x)=x4−8x2f(x) = x^4 - 8x^2 的极值。f′(x)=4x3−16x=4x(x2−4)f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4)，驻点为 −2-2、00、22。f′f' 的符号依次是负、正、负、正，故 x=±2x = \pm 2 是极小值点，极小值都是 −16-16；x=0x = 0 是极大值点，极大值 00。这个函数的极大值 00 小于它在 x=3x = 3 处的函数值 99，再次印证极值的局部性。

4 · 闭区间上的最值

ff 在闭区间 [a,b][a, b] 上连续时必取到最大值与最小值，而取到的位置只有两类：区间内部的驻点，或两个端点。求法因此是一张短清单——算出内部驻点处的函数值，算上 f(a)f(a) 与 f(b)f(b)，逐个比较。判别这一步可以跳过：无论驻点是极大、极小还是两侧同号，它的函数值都已在比较之列。

以 f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x 于 [−3,0.5][-3, 0.5] 为例。内部驻点只有 x=−1x = -1，f(−1)=2f(-1) = 2；端点值 f(−3)=−18f(-3) = -18、f(0.5)=−1.375f(0.5) = -1.375。最大值 22 在极大值点处取到，最小值 −18-18 落在左端点——端点不是极值点，却是最小值点。

注 · 换成在区间上密集采样求最值，误差比想象的大。f(x)=x4−8x2f(x) = x^4 - 8x^2 在 [−3,3][-3, 3] 上的最小值是 −16-16，在 x=±2x = \pm 2 处取到。等距采样 2020 段时最好的采样点是 x=2.1x = 2.1，函数值 −15.8319-15.8319；加密到 4040 段得到 x=−1.95x = -1.95、−15.960994-15.960994。采样点数每翻一倍，误差约缩到四分之一（极小值附近函数近似为二次），而驻点法直接解出 x=2x = 2 与准确的 −16-16。lab 里两种结果并排显示，正是为了让这个差额可见。

例 4.1 用一块边长 1212 的正方形铁皮，四角各剪去一个边长 xx 的小正方形后折成无盖盒子，求容积最大时的 xx。容积 V(x)=x(12−2x)2V(x) = x(12 - 2x)^2，定义域 (0,6)(0, 6)。V′(x)=(12−2x)2+x⋅2(12−2x)(−2)=(12−2x)(12−6x)V'(x) = (12-2x)^2 + x \cdot 2(12-2x)(-2) = (12-2x)(12 - 6x)，在 (0,6)(0, 6) 内的驻点是 x=2x = 2。V′V' 在 (0,2)(0, 2) 上为正、(2,6)(2, 6) 上为负，故 x=2x = 2 处取得最大容积 V(2)=128V(2) = 128。

5 · 参考文献

  1. Maximum and minimum. Wikipedia. 极值与最值的定义、局部与整体的分别。https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_and_minimum
  2. Fermat's theorem (stationary points). Wikipedia. 「可导函数的极值点必为驻点」的严格表述。https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_theorem_(stationary_points)
  3. Extreme value theorem. Wikipedia. 闭区间上连续函数必取到最大值与最小值。https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem