目标函数 · 定义域端点 · 费马原理

优化建模：从实际约束到最值

「用料最省」「利润最大」「用时最短」这类问题落到数学上都是同一件事：写出一个一元函数，求它在某个区间上的最值。难点不在求导，在于把实际的约束翻译成函数与定义域——翻译得对不对，只能拿结论回到实际中去检验。

1 · 从实际问题到目标函数

建模的次序是固定的，跳步会在后面付出代价。

设变量。选一个自变量，其余的量都用它表示。选谁不影响答案，但影响表达式的繁简：圆柱罐用底面半径比用高好写，因为体积约束能把高直接解出来。
写目标函数，即待优化的那个量关于自变量的表达式。所有约束条件在这一步用掉，把多元问题压成一元。
定定义域。几何量为正、销量不为负、比例不超过一，这些限制决定了后面在哪个区间上比较。
求导，解 $f'(x) = 0$ ，把驻点与定义域中可取的端点一并比较，定出最值。
回到实际意义验算。答案的量纲对不对，数量级合不合理，与已知的实物是否吻合。

第五步最容易被略过，而它恰恰是发现建模出错的唯一机会。下一节的罐子就卡在这一步上。

2 · 等体积罐子的用料

容积固定为 $V$ 的圆柱形罐子，底面半径 $r$ 、高 $h$ 满足 $V = \pi r^2 h$ 。表面积

A(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}, \qquad r \in (0, +\infty)

求导得 $A'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$ ，令其为零解出 $r = \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi}}$ 。代回体积约束， $h = \dfrac{V}{\pi r^2} = 2r$ ：用料最省的罐子，高恰好等于直径。定义域是开区间，两个端点都取不到（半径为零装不下东西，半径趋于无穷时用料也趋于无穷），驻点唯一，它就是最小值点。

取 $V = 330$ 立方厘米，算得 $r = 3.745$ 厘米、 $h = 7.490$ 厘米，表面积 $264.36$ 平方厘米。

拿这个结论去比对实物就出了问题。常见的 330 毫升两片式铝罐外径约 $66$ 毫米、总高约 $115$ 毫米，高与直径之比接近 $1.74$ ，而不是理论给出的 $1$ 。真实的罐子比「最省」的方案高而瘦，且偏离得相当明显。

结论与实物不符时，该重新审视的是模型。上面那个目标函数把罐子当成了一张厚度均匀的纸：侧壁、底、盖每平方厘米的代价相同，卷封的翻边不耗材，罐子在货架上和手里也不占地方。这几条都不成立。把底与盖的厚度记作侧壁的 $k$ 倍，目标函数变成 $A_k(r) = 2k\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$ ，驻点条件给出 $r^3 = \dfrac{V}{2k\pi}$ ，代回后

h = \frac{V}{\pi r^2} = 2kr

高与直径之比恰好就是厚度倍数 $k$ ，且与容积 $V$ 无关。反过来由实物的 $1.74$ 反推，相当于底盖的等效厚度约为侧壁的 $1.74$ 倍——两片式铝罐的罐身经过减薄拉伸而底与盖需要承压，这个量级是说得通的。再把卷封翻边的耗材算进去，罐子还会被进一步拉高：取 $k = 2$ 、翻边宽 $0.3$ 厘米时最优半径从 $2.972$ 降到 $2.923$ 厘米，比值从 $2.000$ 升到 $2.103$ 。

注 · 真实尺寸能离理论最优这么远，还有一个数值上的原因：目标函数在最优点附近极平坦。一阶导数在最优点为零，目标值的变化是二阶的：偏离翻一倍代价翻四倍，而基数极小。实测 $V = 330$ 的理想模型：半径偏离最优 $5\%$ 只多用 $0.242\%$ 的材料，偏离 $10\%$ 多用 $0.939\%$ ，偏离 $20\%$ 也才多用 $3.556\%$ 。把半径从最优的 $3.745$ 厘米直接改成实物的 $3.3$ 厘米（偏离 $12\%$ ），用料只多 $1.54\%$ 。省下的这一点材料，抵不过握持手感、货架高度与产线模具带来的约束，厂商也就没有理由去凑那个「最优」。

驻点有闭式解，用不着数值求根；core/optimize.ts 里仍留了一份牛顿法，用来对照。以 $A'(r) = 0$ 为方程，初值分别取 $1$ 、 $2$ 、 $8$ 、 $12$ ，迭代 $9$ 、 $7$ 、 $8$ 、 $10$ 步后都停下，四个结果与解析解 $\sqrt[3]{V / 2\pi}$ 至多差一个 ulp（其中初值 $8$ 那一次差 $4.44 \times 10^{-16}$ ，其余三次逐位相同）。初值 $12$ 的第一步跳到了 $1.03$ ，几乎冲出定义域左端——牛顿法的二次收敛只在最后几步兑现，前几步全看初值的运气。

图 2-1 · 上格是实物示意，下格是同一模型的目标函数曲线，游标扫过时两格同步。红点是最值，橙点是可取的端点，切线的倾斜方向即

f'

的符号。可切换到定价模型压低限价，观察最值如何从内部驻点转移到端点上。

3 · 定价与定义域的端点

某商品单位成本 $8$ 元，售价定为 $p$ 元时日销量为 $q = 200 - 10p$ 件。日利润

L(p) = (p - 8)(200 - 10p), \qquad p \in [8, 20]

定义域的两端各有来历：低于成本价不做生意，高于 $20$ 元时销量降到零。 $L'(p) = 280 - 20p$ ，驻点 $p = 14$ ， $L(14) = 360$ 元，大于两端的 $L(8) = L(20) = 0$ ，最优定价是 $14$ 元。

例 3.1 上一段加一条限价：售价不得超过 $12$ 元。定义域缩成 $[8, 12]$ ，驻点 $14$ 落在区间之外，候选只剩两个端点， $L(8) = 0$ 、 $L(12) = 320$ ，最优定价是 $12$ 元。 $L$ 在 $[8, 12]$ 上一路递增，最优被限价「顶」在了右端点上。

警示 · 端点是否属于定义域，由实际问题决定，不能凭数学上的方便挑。限价这类政策约束是可以取到的上界，端点必须进候选；而罐子的半径取不到零，那个端点进了候选反而会给出一个取不到的「最优」。core/optimize.ts 的模型因此各自声明 closed: [boolean, boolean]，solve 只把可取的端点放进候选清单。

4 · 折射与 Snell 定律

光从一种介质进入另一种时会拐一下。费马原理（Fermat's principle）说，光走的是用时最短的那条路径。用时最短与路程最短是两件事，两者只在同一种介质里才重合。

设光源在界面上方高 $h_1$ 处，目标点在界面下方深 $h_2$ 处，两者水平相距 $d$ ；光在上下两种介质中的速率分别为 $v_1$ 、 $v_2$ 。设入射点距光源正下方 $x$ ，则

T(x) = \frac{\sqrt{h_1^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{h_2^2 + (d - x)^2}}{v_2}, \qquad x \in [0, d]

定理 4.1（Snell 定律） 使 $T(x)$ 取最小值的入射点满足 $\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2}$ 其中 $\theta_1$ 、 $\theta_2$ 分别是入射线与折射线跟界面法线的夹角。

证明对 $T$ 求导： $T'(x) = \frac{x}{v_1\sqrt{h_1^2 + x^2}} - \frac{d - x}{v_2\sqrt{h_2^2 + (d - x)^2}}$ 两个分式各自的分子是水平位移、分母是斜边长与速率之积，故 $\dfrac{x}{\sqrt{h_1^2 + x^2}} = \sin\theta_1$ 、 $\dfrac{d - x}{\sqrt{h_2^2 + (d-x)^2}} = \sin\theta_2$ ，于是 $T'(x) = \frac{\sin\theta_1}{v_1} - \frac{\sin\theta_2}{v_2}$ $T'$ 在 $[0, d]$ 上严格递增（第一项随 $x$ 增大，第二项随 $x$ 减小），零点唯一，且 $T'(0) < 0 < T'(d)$ ，该零点即最小值点。令 $T' = 0$ 即得定理的等式。∎

求导的中间结果自己变成了正弦，并非巧合： $\sin\theta$ 本来就是「路径长度关于入射点位移的变化率」， $T'$ 的两项各是一段路的用时对同一个位移的响应。

取 $h_1 = 3$ 、 $h_2 = 2$ 、 $d = 5$ ，水与空气的折射率之比 $n = v_1 / v_2 = 1.33$ 。数值解出的最优入射点是 $x = 3.587\,80$ ，此处 $\theta_1 = 50.0987^\circ$ 、 $\theta_2 = 35.2261^\circ$ ，正弦之比算得 $1.330\,000\,000\,000\,000\,5$ ，与 $n$ 只差 $4.44 \times 10^{-16}$ 。这个偏差是最后一位的舍入，两条路线（对目标函数求导，与直接引用 Snell 定律）在双精度下完全对上。

顺带可以量出「拐这一下」值多少。同一组参数下，直线路径的入射点由相似三角形定为 $x = 3$ ，用时 $8.004\,45$ ；最优路径的用时 $7.933\,06$ ，快了 $0.90\%$ 。折射角在图上看着相当明显，换算成用时却只有不到百分之一的差别，这与上一节罐子那条同源：最优点附近目标函数是平的，入射点偏离最优 $0.1$ 时用时只多 $2.29 \times 10^{-3}$ ，偏离 $0.01$ 时只多 $2.26 \times 10^{-5}$ 。

5 · 参考文献

Mathematical optimization. Wikipedia. 优化问题的一般形式与可行域的概念。https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_optimization
Fermat's principle. Wikipedia. 费马原理的表述、历史与由它导出的反射与折射定律。https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_principle
Snell's law. Wikipedia. 折射定律的多种推导路径，含费马原理与惠更斯原理两条。https://en.wikipedia.org/wiki/Snell%27s_law
Newton's method. Wikipedia. 牛顿法的收敛阶与对初值的依赖。https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method
Drink can. Wikipedia. 两片式铝罐的成型工艺、壁厚分布与常见公称尺寸。https://en.wikipedia.org/wiki/Drink_can