用导数证明不等式

不等式 $f(x) \ge g(x)$ 在整个区间上成立与否，等价于差函数 $h = f - g$ 的最小值是否不小于零。导数把「求最小值」变成可执行的步骤，证不等式因而有了通用路线：作差、求导定单调、比较最小值与零。

1 · 作差构造函数

证 $e^x \ge x + 1$ 对一切实数成立。令 $h(x) = e^x - x - 1$，则 $h'(x) = e^x - 1$，它在 $x < 0$ 时为负、$x > 0$ 时为正。故 $h$ 在 $(-\infty, 0)$ 上递减、在 $(0, +\infty)$ 上递增，最小值为 $h(0) = 0$。$h(x) \ge 0$ 对一切 $x$ 成立，原不等式得证，且等号只在 $x = 0$ 处取到。

三步的次序不可颠倒：不先作差，就不知道该对谁求导；不定单调性，就不知道最小值在哪个点上取到。最小值恰为零这一情形最常见，它对应两条曲线相切。

2 · 最小值为负即反例

差函数的最小值一旦为负，不等式在整段区间上就不成立，而取到负值的那个自变量就是现成的反例。这个方向比证明容易：找到一个点即可。

$e^x \ge ax + 1$ 对一切实数成立吗？令 $h(x) = e^x - ax - 1$。$a \le 0$ 时另作讨论；$a > 0$ 时 $h'(x) = e^x - a$ 的零点是 $x = \ln a$，最小值

只在 $a = 1$ 处等于零，其余取值一律为负。$a = 2$ 时最小值为 $1 - 2\ln 2 \approx -0.386$，反例即 $x = \ln 2 \approx 0.693$：左端 $2$，右端 $2\ln 2 + 1 \approx 2.386$。这解释了为何 $y = x + 1$ 在所有形如 $y = ax + 1$ 的直线里是唯一的那条——它正是 $y = e^x$ 在 $(0, 1)$ 处的切线。

3 · 两族切线不等式

两式互为镜像：$y = e^x$ 与 $y = \ln x$ 关于直线 $y = x$ 对称，$y = x + 1$ 与 $y = x - 1$ 也是。凡是指数与对数混在一起的不等式，多半可以用它们把超越函数换成一次式：

• $x$ 换成 $x - 1$，$e^x \ge x + 1$ 给出 $e^{x-1} \ge x$，即 $\ln x \le x - 1$ 的等价形式。
• $x$ 换成 $\frac{x}{a}$（$a > 0$），得 $e^{x/a} \ge \frac{x}{a} + 1$，可用来处理带参数的指数式。
• $\ln x \le x - 1$ 里把 $x$ 换成 $\frac{1}{x}$，得 $\ln x \ge 1 - \frac{1}{x}$，对数由此被上下夹住：$1 - \frac{1}{x} \le \ln x \le x - 1$。

放缩会损失信息，用之前须确认损失得起。$\ln x \le x - 1$ 在 $x$ 靠近 $1$ 时很紧（差为 $O((x-1)^2)$），在 $x = 10$ 时两端相差 $6.7$，此时再拿它去估计原式往往就过头了。

4 · 差函数在浮点下的符号

差函数的表达式照抄式子写成 Math.exp(x) - x - 1 会在原点附近失真。实测 $x = 10^{-8}$ 时它给出 $-1.11 \times 10^{-16}$——符号与定理 3.1 相反；$x = 10^{-9}$ 时给出恰好的 $0$，于是「等号只在 $x = 0$ 处取到」也验不出来。原因仍是相消：$e^x$ 与 $1 + x$ 的前十六位有效数字相同，相减后剩下的位里已没有真实信息。

改用 Math.expm1(x) - x 计算同一个量，两点分别得 $5.0 \times 10^{-17}$ 与 $5.0 \times 10^{-19}$，与理论值 $\frac{x^2}{2}$ 一致。expm1 直接算 $e^x - 1$ 而不经过「先算 $e^x$ 再减 $1$」这一步，小 $x$ 处的有效数字因此保得住。对数一侧同理用 Math.log1p(x - 1)。

5 · 参考文献

1. Inequality (mathematics). Wikipedia. 不等式的基本性质与证明手段。https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
2. Bernoulli's inequality. Wikipedia. 与 $e^x \ge x + 1$ 同源的一族放缩不等式。https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli%27s_inequality
3. Loss of significance. Wikipedia. 相近数相减导致有效数字丢失，以及 expm1 / log1p 这类补偿函数。https://en.wikipedia.org/wiki/Loss_of_significance